直感的理解

人工衛星は常に地球に向かって「落ち続けて」いますが、十分な水平速度があるため地表にぶつからず、円軌道を描きます。万有引力がちょうど円運動の向心力になっているのです。軌道半径が大きいほど、必要な速さは小さくなり、周期は長くなります。

設定：地球の質量 $M$、半径 $R$、万有引力定数 $G$。衛星の質量を $m$、表面すれすれの軌道なので $r = R$。

立式：万有引力が向心力を与えるので：

$$G\frac{Mm}{R^2} = \frac{mv^2}{R}$$

速さ $v$ を求める：両辺を $m$ で割り、$v^2$ について解きます。

$$\frac{GM}{R^2} = \frac{v^2}{R} \quad \therefore \; v^2 = \frac{GM}{R}$$ $$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$$

周期 $T$ を求める：円周 $2\pi R$ を速さ $v$ で割ります。

$$T = \frac{2\pi R}{v} = 2\pi R \cdot \frac{1}{\sqrt{GM/R}} = 2\pi R \cdot \sqrt{\frac{R}{GM}} = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$$

答え：
$$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}}$$

補足：第一宇宙速度

地表すれすれを回る衛星の速さ $v_1 = \sqrt{\dfrac{GM}{R}} = \sqrt{gR}$ を第一宇宙速度と呼びます。

$g = 9.8$ m/s$^2$, $R = 6.4 \times 10^6$ m を代入すると：

$$v_1 = \sqrt{9.8 \times 6.4 \times 10^6} \fallingdotseq 7.9 \times 10^3 \text{ m/s} \fallingdotseq 7.9 \text{ km/s}$$

Point

円軌道の衛星は万有引力 = 向心力の関係から速さ・周期が決まる。$v = \sqrt{GM/r}$ は軌道半径 $r$ が大きいほど小さくなり、$T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ は大きくなる。

直感的理解

軌道半径が $R$ から $2R$ に倍になると、衛星は遠くなるので万有引力が弱まり、速度は遅くなります。一方、軌道の円周も長くなるため周期は大幅に伸びます。シミュレーションで2つの衛星を同時に比較すると、外側の衛星がゆっくり回ることが視覚的にわかります。

設定：地表からの高さ $h = R$ の円軌道 → 軌道半径 $r = R + h = 2R$。

速さの比：$v = \sqrt{GM/r}$ に $r = 2R$ を代入すると：

$$v' = \sqrt{\frac{GM}{2R}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{GM}{R}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,v = \frac{\sqrt{2}}{2}\,v$$

よって速さは(1)の $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 倍。

周期の比：$T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ に $r = 2R$ を代入すると：

$$T' = 2\pi\sqrt{\frac{(2R)^3}{GM}} = 2\pi\sqrt{\frac{8R^3}{GM}} = \sqrt{8} \times 2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}} = 2\sqrt{2}\,T$$

よって周期は(1)の $2\sqrt{2}$ 倍。

答え：
$$\text{速さ：}\frac{\sqrt{2}}{2}\text{ 倍}, \qquad \text{周期：}2\sqrt{2}\text{ 倍}$$

別解：比の計算で直接求める

$v = \sqrt{GM/r}$ より $v \propto r^{-1/2}$ なので：

$$\frac{v'}{v} = \sqrt{\frac{R}{2R}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ より $T \propto r^{3/2}$ なので：

$$\frac{T'}{T} = \left(\frac{2R}{R}\right)^{3/2} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}$$

Point

円軌道の衛星の速さは $v \propto r^{-1/2}$、周期は $T \propto r^{3/2}$。軌道半径の比がわかれば、べき乗の比で速さ・周期の比が直接求まる。

基本例題39 人工衛星の運動