直感的理解

地表で与えた運動エネルギーが、上昇するにつれて万有引力による位置エネルギーに変換されていきます。最高点では運動エネルギーがゼロになり、全エネルギーが位置エネルギーになります。グラフ上では、$U(r)$ のカーブと力学的エネルギー $E$ の水平線の交点が最高点です。

立式：地表（$r = R$）と最高点（$r = R + h$、$v = 0$）で力学的エネルギー保存則を立てます。

整理：

$GM = gR^2$ を代入すると：

答え：
$$v_0 = \sqrt{\frac{2gRh}{R+h}}$$

Point

万有引力による位置エネルギー $U = -G\dfrac{Mm}{r}$ は無限遠を基準（$U = 0$）とする。力学的エネルギー保存則では、近似なしの式 $U = -GMm/r$ を使うこと。

直感的理解

$h$ が $R$ に比べて非常に小さいとき、地表付近では万有引力はほぼ一定（$mg$）とみなせます。このとき万有引力による位置エネルギーは $-GMm/r$ ではなく、おなじみの $mgh$ で近似できるのです。

設問(1)の結果：

$h \ll R$ のとき $R + h \fallingdotseq R$ なので：

答え：
$$v_0 \fallingdotseq \sqrt{2gh}$$

補足：$mgh$ との対応

この結果は、重力の位置エネルギーを $mgh$ として力学的エネルギー保存を立てた場合と一致します：

$$\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh \quad \Rightarrow \quad v_0 = \sqrt{2gh}$$

つまり、$h \ll R$ の近似は「重力は高さによらず一定 $mg$」という近似に対応しています。

Point

$h \ll R$ のとき $R + h \fallingdotseq R$ とおける。この近似により万有引力の式は地表付近の重力 $mg$ の式に帰着する。

直感的理解

物体が地球から脱出するには、全力学的エネルギーが0以上であればよいのです。$E < 0$ なら万有引力に引き戻され、$E \geq 0$ なら無限遠まで到達できます。このギリギリの速度（$E = 0$）が第二宇宙速度です。

条件：物体が地球上に戻らない → 無限遠で速さが0以上 → 力学的エネルギー $E \geq 0$

これは設問(1)で $\dfrac{R}{h} \to 0$（つまり $h \to \infty$）の極限に対応します：

答え：
$$v_0 \geq \sqrt{2gR}$$

この最小値 $v_0 = \sqrt{2gR}$ を第二宇宙速度という。

補足：第一宇宙速度と第二宇宙速度の関係

第一宇宙速度 $v_1 = \sqrt{gR}$、第二宇宙速度 $v_2 = \sqrt{2gR}$ より：

$$v_2 = \sqrt{2}\,v_1$$

数値を代入すると $v_2 = \sqrt{2} \times 7.9 \fallingdotseq 11.2$ km/s。

Point

地球脱出の条件は力学的エネルギー $E \geq 0$。第二宇宙速度 $v_2 = \sqrt{2gR} = \sqrt{2}\,v_1 \fallingdotseq 11.2$ km/s。

基本例題40 万有引力による位置エネルギー