応用問題227 熱膨張

30°Cでの読みと実際の長さ

直感的理解
しんちゅう定規は30°Cで膨張しているので、0°Cの時より各目盛り間隔が広くなっています。つまり「定規の3400mm」は実際にはもう少し長い。一方、鉄の棒も膨張していますが、膨張率が違うため、0°Cでの長さは異なります。

設定：線膨張率 \(\alpha_1 = 2.0 \times 10^{-5}\) /K（しんちゅう定規）、\(\alpha_2 = 1.0 \times 10^{-5}\) /K（鉄の棒）。30°Cで定規の読みが3400 mm。

30°Cでの鉄の棒の正しい長さ

0°Cで正しい定規の1 mm目盛りが、30°Cでは \(1 \times (1 + \alpha_1 \times 30)\) mmに伸びています。読みが3400 mmということは、実際の長さ \(l\) は：

$$l = 3400 \times (1 + \alpha_1 \times 30)$$

数値を代入します：

$$l = 3400 \times (1 + 2.0 \times 10^{-5} \times 30) = 3400 \times 1.0006 = 3402.04 \text{ mm}$$

小数点以下を四捨五入して \(l \fallingdotseq 3402\) mm です。

0°Cでの鉄の棒の正しい長さ

鉄の棒の0°Cでの長さを \(l_0\) とすると、30°Cでの長さとの関係は：

$$l = l_0(1 + \alpha_2 \times 30)$$

これを \(l_0\) について解くと：

$$l_0 = \frac{l}{1 + \alpha_2 \times 30} = \frac{3402.04}{1 + 1.0 \times 10^{-5} \times 30} = \frac{3402.04}{1.0003} \fallingdotseq 3401.0 \text{ mm}$$
答え：
30°Cでの正しい長さ：\(3402\) mm
0°Cでの正しい長さ：\(3401\) mm
補足：近似計算について

\(\alpha\) が十分小さいとき、\(\dfrac{1}{1+a} \fallingdotseq 1 - a\) と近似できます。

よって \(l_0 \fallingdotseq 3400(1 + \alpha_1 \times 30)(1 - \alpha_2 \times 30) \fallingdotseq 3400\{1 + (\alpha_1 - \alpha_2) \times 30\}\)

\(= 3400 \times (1 + 1.0 \times 10^{-5} \times 30) = 3400 \times 1.0003 = 3401.02 \fallingdotseq 3401\) mm

Point

膨張した定規で測定すると、読みの値×(1+α×ΔT)が実際の長さ。0°Cの長さに戻すには被測定物の膨張率で補正する。