直感的理解

滝の水は高い所から低い所へ落ちることで位置エネルギーを失います。それがすべて熱に変わるなら、毎秒の水の位置エネルギー変化がそのまま発生する熱量です。

設定：落差 $h = 110$ m、水量毎分 $1.0 \times 10^5$ m³、$g = 9.8$ m/s²、$c = 4.2$ J/(g·K)

立式：1秒間に落下する水の質量を $m$ [kg] とすると、1秒間に発生する熱量は $Q = mgh$。

水量が毎分 $1.0 \times 10^5$ m³ なので、1秒間の水の質量は：

$$m = \frac{1.0 \times 10^5 \times 1.0 \times 10^3}{60} = \frac{1.0 \times 10^8}{60} \fallingdotseq 1.67 \times 10^6 \text{ kg/s}$$

計算：

$$Q = mgh = 1.67 \times 10^6 \times 9.8 \times 110$$ $$= 1.67 \times 10^6 \times 1078 \fallingdotseq 1.8 \times 10^9 \text{ J}$$

答え：
$$Q \fallingdotseq 1.8 \times 10^9 \text{ J}$$

Point

位置エネルギー → 熱量：$Q = mgh$。単位の変換（毎分→毎秒、m³→kg）に注意。

直感的理解

$Q = mgh = mc\Delta T$ なので、質量 $m$ が約分されて $\Delta T = gh/c$ となります。つまり温度上昇は水の量に依存せず、落差だけで決まります。これは驚くべき結果です。

立式：$Q = mgh$ がすべて水の温度上昇に使われるとき $mgh = mc\Delta T$。

質量 $m$ が約分され：

$$\Delta T = \frac{gh}{c} = \frac{9.8 \times 110}{4.2 \times 10^3}$$

計算：

$$= \frac{1078}{4200} \fallingdotseq 0.257 \fallingdotseq 0.26 \text{ K}$$

答え：
$$\Delta T \fallingdotseq 0.26 \text{ K}$$

Point

$mgh = mc\Delta T$ から $m$ が消えて $\Delta T = gh/c$。温度上昇は落差のみに依存し、水の量には依存しない。

直感的理解

水車の効率50%とは、水の位置エネルギーの半分だけが電力に変換されるということです。残りは熱や音として失われます。

立式：水車の効率を $e = 0.50$ とすると、出力（仕事率）は $P = e \times mgh / t$。

1秒あたりの水の質量 $m/t = 1.0 \times 10^5 \times 10^3 / 60 \fallingdotseq 1.67 \times 10^6$ kg/s なので：

$$P = 0.50 \times 1.67 \times 10^6 \times 9.8 \times 110$$

計算：

$$= 0.50 \times 1.8 \times 10^9 = 9.0 \times 10^8 \text{ W}$$

答え：
$$P \fallingdotseq 9.0 \times 10^8 \text{ W}$$

補足：水力発電の効率

実際の水力発電所の効率は80〜90%で、火力（40%前後）や原子力（33%前後）より高い。この問題では水車の効率を50%としています。

Point

仕事率 $P = W/t$。効率 $e$ がある場合は $P = e \times mgh/t$。

応用問題230 熱と仕事