エネルギー保存：
\(Q_\text{in}\), \(Q_\text{out}\), \(W'\) はいずれも正の値をとるものとすると：
高温熱源から吸収した熱 = 外部にした仕事 + 低温熱源に捨てた熱 より：
$$Q_\text{in} = W' + Q_\text{out}$$装置Aが外部にした仕事 \(W'\) は：
$$W' = Q_\text{in} - Q_\text{out}$$熱機関のエネルギー保存：\(Q_\text{in} = W' + Q_\text{out}\)。吸収した熱 ＝ した仕事 ＋ 捨てた熱。
立式：熱効率は「吸収した熱量に対する仕事の割合」なので：
$$e_A = \frac{W'}{Q_\text{in}}$$設問(1)の結果 $W' = Q_\text{in} - Q_\text{out}$ を代入すると：
$$e_A = \frac{Q_\text{in} - Q_\text{out}}{Q_\text{in}} = 1 - \frac{Q_\text{out}}{Q_\text{in}}$$熱効率 \(e = W'/Q_\text{in}\)。\(Q_\text{out}\) を \(Q_\text{in}\) で割った値を1から引いても同じ。
証明：
設問(2)の結果より：
$$e_A = 1 - \frac{Q_\text{out}}{Q_\text{in}}$$装置Aは熱を放出するので \(Q_\text{out} > 0\)、また \(Q_\text{in} > 0\) より：
$$\frac{Q_\text{out}}{Q_\text{in}} > 0$$したがって：
$$e_A = 1 - \frac{Q_\text{out}}{Q_\text{in}} < 1$$「低温熱源に熱を捨てずに、高温熱源から得た熱をすべて仕事に変換することはできない」（トムソンの原理）。これは $Q_\text{out} > 0$、すなわち $e < 1$ を保証します。
熱機関の効率は必ず1未満。低温熱源に熱を捨てなければ熱機関は動作できない（熱力学第二法則）。
この問題の物理量に具体的な数値を当てはめて確認してみましょう。
たとえば \(n = 1.0\) mol の単原子理想気体が温度 \(T = 300\) K のとき：
$$PV = nRT = 1.0 \times 8.31 \times 300 = 2493 \fallingdotseq 2.5 \times 10^{3} \text{ J}$$ $$\text{内部エネルギー: } U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2} \times 2493 \fallingdotseq 3.7 \times 10^{3} \text{ J}$$ $$\text{温度が } 400 \text{ K に上がると } \Delta U = \frac{3}{2} \times 1.0 \times 8.31 \times 100 \fallingdotseq 1.2 \times 10^{3} \text{ J}$$状態変化の種類（等圧・等積・等温・断熱）により \(Q\) と \(W\) の関係が異なることに注意しましょう。