設問(1)　容器の熱容量 C

設定：熱量計に140gの水を入れ、容器も水も一様に温度27°Cになった。この中へ47°Cの水40gを追加したところ、全体の温度が31°Cになった。水の比熱は4.2 J/(g·K)。

立式：高温物体が失った熱量 ＝ 低温物体が得た熱量

高温側（追加した水40g、47°C → 31°C）が失った熱量：

$$Q_{\text{失}} = 40 \times 4.2 \times (47 - 31) = 40 \times 4.2 \times 16 = 2688 \text{ J}$$

低温側（元の水140g + 容器、27°C → 31°C）が得た熱量：

$$Q_{\text{得}} = 140 \times 4.2 \times (31 - 27) + C \times (31 - 27) = 2352 + 4C$$

熱量の保存：$Q_{\text{失}} = Q_{\text{得}}$ より

$$2688 = 2352 + 4C$$ $$4C = 2688 - 2352 = 336$$ $$C = \frac{336}{4} = 84 \text{ J/K}$$

設問(2)　金属球の比熱 c

設定：設問(1)の後の状態（水180g + 容器、31°C、C = 84 J/K）に、100°Cに熱した150gの金属球を入れたところ、全体の温度が40°Cになった。

立式：金属球が失った熱量 ＝ 水＋容器が得た熱量

金属球が失った熱量（100°C → 40°C）：

$$Q_{\text{失}} = 150 \times c \times (100 - 40) = 9000c$$

水180g + 容器（$C = 84$ J/K）が得た熱量（31°C → 40°C）：

$$Q_{\text{得}} = 180 \times 4.2 \times (40 - 31) + 84 \times (40 - 31)$$ $$= 180 \times 4.2 \times 9 + 84 \times 9 = 6804 + 756 = 7560 \text{ J}$$

方程式を解く：

$$9000c = 7560$$ $$c = \frac{7560}{9000} = 0.84 \text{ J/(g·K)}$$

補足：比熱から物質を推定

比熱 $c = 0.84$ J/(g·K) は鉄（0.45）より大きく水（4.2）より小さい値です。アルミニウム（0.90）に近いですが、金属球の正体は問題文の情報のみでは特定できません。