立式：圧力 \(p\) 一定、温度が \(T\) のとき、状態方程式から密度を導きます。
理想気体の状態方程式 \(pV = nRT\) より、単位体積あたりの物質量は：
$$\frac{n}{V} = \frac{p}{RT}$$密度 \(\rho\) はモル質量 \(M\) を用いて \(\rho = \dfrac{nM}{V} = \dfrac{pM}{RT}\) なので：
$$\rho = \frac{pM}{RT}$$外気の状態（\(T_0,\;\rho_0\)）でも同様に \(\rho_0 = \dfrac{pM}{RT_0}\) が成り立つので、比をとると：
$$\frac{\rho'}{\rho_0} = \frac{T_0}{T} \quad \therefore \quad \rho' = \rho_0 \frac{T_0}{T}$$圧力一定で温度を上げると \(\rho \propto 1/T\)。密度は絶対温度に反比例する。
設定：気球の容積 \(V = 500\) m³、気球本体（空気を除いた）質量 \(M = 110\) kg。外気温 21°C（= 294 K）、外気の密度 \(\rho_0 = 1.20\) kg/m³。
浮揚条件：浮力 \(\geq\) 全重量（気球本体 + 内部空気）より：
$$\rho_0 V g \geq Mg + \rho' V g$$\(\rho' = \rho_0 T_0 / T\) を代入して \(g\) で割ると：
$$\rho_0 V \geq M + \rho_0 \frac{T_0}{T} V \quad \Rightarrow \quad \rho_0 V - \rho_0 \frac{T_0}{T} V \geq M$$\(T\) について整理すると：
$$T \geq \frac{T_0 \rho_0 V}{\rho_0 V - M}$$数値代入：
$$T \geq \frac{294 \times 1.20 \times 500}{1.20 \times 500 - 110} = \frac{176400}{490} \fallingdotseq 360 \text{ K} \quad (\fallingdotseq 87 \text{ °C})$$内部の空気の温度を約 87°C 以上にすれば浮揚できます。
実際の熱気球では、バーナーで約100°Cの空気を作り出して浮揚します。風の影響や気球の形状による空気抵抗なども考慮する必要がありますが、基本原理はこの計算と同じです。
熱気球の浮揚条件：浮力（\(\rho_0 Vg\)） ≧ 本体重量 + 内部空気の重量。温度を上げて内部密度を下げることで浮力を稼ぐ。