容器をつないだ気体の状態方程式

設定：容器A（$V_A = 5\;\text{L}$, $p_A = 3.0 \times 10^5\;\text{Pa}$）と容器B（$V_B = 2\;\text{L}$, $p_B = 1.0 \times 10^5\;\text{Pa}$）をコックでつないでいる。温度 $T = 300\;\text{K}$ で一定。

物質量の保存：温度一定なので $pV = nRT$ より $n = pV/(RT)$。

混合前の全物質量 $n$ は：

$$n = \frac{p_A V_A}{RT} + \frac{p_B V_B}{RT} = \frac{p_A V_A + p_B V_B}{RT}$$

混合後、圧力を $p$ とすると：

$$n = \frac{p(V_A + V_B)}{RT}$$

$n$ は保存されるので $RT$ が消えて：

$$p(V_A + V_B) = p_A V_A + p_B V_B$$

数値代入：

$$p \times (5 + 2) = 3.0 \times 10^5 \times 5 + 1.0 \times 10^5 \times 2$$ $$7p = 15.0 \times 10^5 + 2.0 \times 10^5 = 17.0 \times 10^5$$

計算：

$$p = \frac{17.0 \times 10^5}{7} \fallingdotseq 2.43 \times 10^5 \fallingdotseq 2.4 \times 10^5 \text{ Pa}$$

補足：体積の単位について

この問題では体積の比のみが重要なので、L のまま計算しても結果は同じです。$p = \dfrac{p_A V_A + p_B V_B}{V_A + V_B}$ の式では分子・分母の体積の単位が相殺されます。