ピストンの力のつりあい：ピストンにはたらく力は、上から大気圧 \(p_0 S\) と重力 \(Mg\)、下から気体の圧力 \(pS\)。つりあい条件：
$$pS = p_0 S + Mg \quad \therefore \; p = p_0 + \frac{Mg}{S}$$状態方程式：1 mol の理想気体で \(pV = RT_0\)、\(V = Sl_0\) なので：
$$\left(p_0 + \frac{Mg}{S}\right)Sl_0 = RT_0$$ $$(p_0 S + Mg)\,l_0 = RT_0$$ $$l_0 = \frac{RT_0}{p_0 S + Mg}$$数値例：\(p_0 = 1.0 \times 10^5\) Pa, \(S = 1.0 \times 10^{-2}\) m², \(M = 5.0\) kg, \(g = 9.8\) m/s², \(R = 8.31\) J/(mol·K), \(T_0 = 300\) K のとき：
$$p = 1.0 \times 10^5 + \frac{5.0 \times 9.8}{1.0 \times 10^{-2}} = 1.0 \times 10^5 + 4.9 \times 10^3 = 1.049 \times 10^5 \text{ Pa}$$ $$l_0 = \frac{8.31 \times 300}{1.049 \times 10^5 \times 1.0 \times 10^{-2}} = \frac{2493}{1049} \fallingdotseq 2.38 \text{ m}$$ピストンが自由に動く → 圧力一定（定圧過程）。力のつりあいで圧力を求め、\(pV = nRT\) で体積を求める。
立式：加熱前後で圧力は一定（$p = p_0 + Mg/S$）なので：
加熱前：\(p \cdot Sl_0 = RT_0\) … ①
加熱後：\(p(Sl_0 + \Delta V) = RT\) … ②
② − ① より：
$$p\,\Delta V = R(T - T_0)$$ $$\Delta V = \frac{R(T - T_0)}{p} = \frac{R(T - T_0)}{(p_0 S + Mg)/S} = \frac{RS(T - T_0)}{p_0 S + Mg}$$数値例：\(T_0 = 300\) K → \(T = 400\) K に加熱する場合：
$$\Delta V = \frac{8.31 \times 1.0 \times 10^{-2} \times (400 - 300)}{1.049 \times 10^5 \times 1.0 \times 10^{-2}} = \frac{8.31}{1049} \fallingdotseq 7.9 \times 10^{-3} \text{ m}^3$$圧力一定よりシャルルの法則を使えます：
$$\frac{V_0}{T_0} = \frac{V_0 + \Delta V}{T}$$ $$V_0 + \Delta V = V_0 \cdot \frac{T}{T_0}$$ $$\Delta V = V_0 \left(\frac{T}{T_0} - 1\right) = \frac{RT_0}{p} \cdot \frac{T - T_0}{T_0} = \frac{R(T - T_0)}{p}$$設問(1)の \(p = p_0 + Mg/S = (p_0 S + Mg)/S\) を代入して同じ結果を得ます。
定圧変化では \(\Delta V = nR\Delta T / p\)。圧力はピストンの力のつりあいで決まる一定値。