応用問題259 気体の状態変化

設問(1)　A→B の仕事

直感的理解
A→B は等温変化なので \(\Delta U = 0\)。吸収した熱 \(Q_0\) はそのまま気体が外部にした仕事になる。

立式：等温変化では \(\Delta U = 0\) なので：

答え：
$$W_\mathrm{AB} = Q_0$$
Point

等温変化では \(\Delta U = 0\) → \(Q = W'\)。吸収した熱がそのまま仕事に変換される。

設問(2)　B→C の仕事と熱量

直感的理解
B→C は定圧変化（\(p = p_0/3\)）で体積が \(3V_0\) → \(V_0\) に圧縮。気体は外部から仕事をされ、温度が下がるので内部エネルギーも減少。放出された熱は両者の差。

仕事：定圧変化で圧縮（体積減少）

$$W_\mathrm{BC} = \frac{p_0}{3}(V_0 - 3V_0) = -\frac{2p_0V_0}{3}$$

温度変化：\(T_\mathrm{B} = T_\mathrm{A} = T_0\)（等温変化より）。\(T_\mathrm{C}\)は状態方程式から：

$$\frac{p_0}{3} \cdot V_0 = nRT_\mathrm{C} = RT_\mathrm{C} \quad \Rightarrow \quad T_\mathrm{C} = \frac{p_0V_0}{3R}$$

一方 \(T_0 = \dfrac{p_0V_0}{R}\) なので \(T_\mathrm{C} = \dfrac{T_0}{3}\)。

$$\Delta U_\mathrm{BC} = \frac{3}{2}R\left(\frac{T_0}{3} - T_0\right) = \frac{3}{2}R \cdot \left(-\frac{2T_0}{3}\right) = -RT_0 = -p_0V_0$$ $$Q_\mathrm{BC} = \Delta U_\mathrm{BC} + W_\mathrm{BC} = -p_0V_0 + \left(-\frac{2p_0V_0}{3}\right) = -\frac{5p_0V_0}{3}$$
答え：
$$W_\mathrm{BC} = -\frac{2p_0V_0}{3}, \quad Q_\mathrm{BC} = -\frac{5p_0V_0}{3}$$
Point

定圧変化の仕事 \(W' = p\Delta V\)。圧縮（\(\Delta V < 0\)）では \(W' < 0\)（外部から仕事をされる）。

設問(3)　C→A の仕事と \(\Delta U\)

直感的理解
C→A は定積変化（\(V = V_0\)）なので仕事はゼロ。温度が \(T_0/3\) から \(T_0\) に上がるので内部エネルギーは増加する。

立式：定積変化なので：

$$W_\mathrm{CA} = 0$$ $$\Delta U_\mathrm{CA} = \frac{3}{2}R(T_0 - \frac{T_0}{3}) = \frac{3}{2}R \cdot \frac{2T_0}{3} = RT_0 = p_0V_0$$
答え：
$$W_\mathrm{CA} = 0, \quad \Delta U_\mathrm{CA} = p_0V_0$$
Point

定積変化：\(W' = 0\)、\(Q = \Delta U = nC_V\Delta T\)。

設問(4)　熱効率

直感的理解
熱効率は「吸収した熱量のうち仕事に使われた割合」。気体が吸収した熱の合計 \(Q_\mathrm{in}\) と、1サイクルの正味の仕事を比較する。

1サイクルの正味の仕事：

$$W' = W_\mathrm{AB} + W_\mathrm{BC} + W_\mathrm{CA} = Q_0 - \frac{2p_0V_0}{3} + 0 = Q_0 - \frac{2p_0V_0}{3}$$

吸収した熱量の合計：

\(Q_\mathrm{AB} = Q_0\)（吸収）、\(Q_\mathrm{BC} < 0\)（放出）、\(Q_\mathrm{CA} = p_0V_0\)（吸収）

$$Q_\mathrm{in} = Q_0 + p_0V_0$$ $$e = \frac{W'}{Q_\mathrm{in}} = \frac{Q_0 - \dfrac{2p_0V_0}{3}}{Q_0 + p_0V_0}$$
答え：
$$e = \frac{Q_0 - \dfrac{2}{3}p_0V_0}{Q_0 + p_0V_0}$$
補足：エネルギー保存と散逸

摩擦がある場合は力学的エネルギーの一部が熱エネルギーに変わりますが、全エネルギー（力学的+熱）は保存されます。

Point

熱効率 \(e = \dfrac{W'_\text{net}}{Q_\text{in}}\)。\(Q_\text{in}\) には吸収した熱だけを含め、放出した熱は含めない。