応用問題260 球形容器内の気体分子の運動

設問(1)　壁面に垂直な運動量変化

直感的理解
壁面に入射角 \(\theta\) で衝突すると、壁面に平行な成分は変化せず、垂直な成分だけが反転する。垂直成分は \(v\cos\theta\) なので、運動量変化は \(2mv\cos\theta\)。

立式：壁面に垂直な速度成分は \(v\cos\theta\)。弾性衝突で反転するので：

答え：
$$|\Delta p| = 2mv\cos\theta$$
Point

壁面への衝突では壁面に垂直な成分のみが反転する。運動量変化は \(2mv\cos\theta\)。

設問(2)　単位時間あたりの衝突回数

直感的理解
分子が壁面で反射してから次に壁面に当たるまでの距離は、球の弦の長さ \(2r\cos\theta\)。速さ \(v\) で割れば衝突間の時間がわかる。

立式：球面上で入射角 \(\theta\) で反射した分子は、球の内部を直進して反対側の壁面に到達します。衝突間の走行距離は幾何学的に \(2r\cos\theta\) です。

$$\text{衝突間の時間} = \frac{2r\cos\theta}{v}$$ $$f = \frac{v}{2r\cos\theta}$$
答え：
$$f = \frac{v}{2r\cos\theta}$$
Point

球形容器内の衝突間距離は弦の長さ \(2r\cos\theta\)。立方体容器の \(2L\) に対応する。

設問(3)　1分子が壁面に与える力

直感的理解
力 = 運動量変化の時間平均。1回の衝突での運動量変化 × 単位時間の衝突回数。

立式：

$$F_1 = |\Delta p| \times f = 2mv\cos\theta \times \frac{v}{2r\cos\theta} = \frac{mv^2}{r}$$

注目すべきは、\(\theta\) が消えて結果が入射角によらないこと。

答え：
$$F_1 = \frac{mv^2}{r}$$
Point

球形容器では1分子が壁面に与える力が入射角 \(\theta\) によらない。これは球の対称性による美しい結果。

設問(4)　\(N\) 個の分子による圧力

直感的理解
圧力 = 力 / 面積。\(N\) 個の分子が球面全体（面積 \(4\pi r^2\)）に力を及ぼす。

立式：

$$p = \frac{NF_1}{4\pi r^2} = \frac{N \cdot \dfrac{mv^2}{r}}{4\pi r^2} = \frac{Nmv^2}{4\pi r^3}$$

球の体積 \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\) を用いると：

$$p = \frac{Nmv^2}{3V}$$
答え：
$$p = \frac{Nmv^2}{4\pi r^3} = \frac{Nmv^2}{3V}$$
Point

球形容器でも立方体容器でも最終結果は同じ：\(p = \dfrac{Nm\overline{v^2}}{3V}\)。容器の形によらない普遍的な結果。

設問(5)　全運動エネルギーを \(n\), \(T\), \(R\) で表す

直感的理解
(4)の結果と状態方程式 \(pV = nRT\) を比較すれば、運動エネルギーの合計と温度の関係が直接出る。

立式：\(pV = \dfrac{Nmv^2}{3}\) と \(pV = nRT\) を比較：

$$\frac{Nmv^2}{3} = nRT$$ $$\frac{1}{2}Nmv^2 = \frac{3}{2}nRT$$

左辺が全分子の運動エネルギーの合計 \(U\) です。

答え：
$$U = \frac{1}{2}Nmv^2 = \frac{3}{2}nRT$$
補足：ボルツマン定数との関係

1分子あたりの平均運動エネルギーは：

$$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{2}\frac{nRT}{N} = \frac{3}{2}\frac{R}{N_\mathrm{A}}T = \frac{3}{2}k_\mathrm{B}T$$

ここで \(k_\mathrm{B} = R/N_\mathrm{A} = 1.38 \times 10^{-23}\) J/K はボルツマン定数です。

Point

気体分子の運動エネルギーの合計は容器の形によらず \(U = \dfrac{3}{2}nRT\)。1分子あたり \(\dfrac{3}{2}k_\mathrm{B}T\)。