応用問題262 気体の状態変化

設問(1)　状態 B, C の温度

直感的理解
各状態の温度は \(T = pV/(nR)\) で計算。A, B, C の \(pV\) の値を比較する。

状態方程式より：

状態A：\(T_\mathrm{A} = \dfrac{p_0 V_0}{R} = T_0\)（基準温度）

状態B：\(T_\mathrm{B} = \dfrac{3p_0 \cdot V_0}{R} = 3T_0\)

状態C：\(T_\mathrm{C} = \dfrac{p_0 \cdot 3V_0}{R} = 3T_0\)

答え：
$$T_\mathrm{B} = 3T_0, \quad T_\mathrm{C} = 3T_0$$

B と C は同じ温度。

補足：p-V 図上の等温線

等温線（\(T = \text{一定}\)）は \(pV = nRT = \text{一定}\) なので、p-V 図上で反比例の双曲線です。

BとCの \(pV\) を比較すると：

  • B: \(pV = 3p_0 \times V_0 = 3p_0V_0\)
  • C: \(pV = p_0 \times 3V_0 = 3p_0V_0\)

値が等しいので同一の等温線上にあります。B→Cの直線経路は等温線そのものではなく（直線は双曲線と異なる）、途中で温度が変化しています。これが設問(5)(6)で最高温度が \(4T_0 > 3T_0\) となる理由です。

Point

\(T = pV/(nR)\) により、p-V 図上で \(pV\) の値が等しい点は同温。B と C は同じ等温線上にある。

設問(2)　A→B と C→A の吸収熱量

直感的理解
A→B は定積変化（仕事ゼロ）なので \(Q = \Delta U\)。C→A は定圧変化で圧縮なので温度が下がり熱を放出。

A→B（定積変化）：

$$W_\mathrm{AB} = 0$$ $$Q_\mathrm{AB} = \Delta U_\mathrm{AB} = \frac{3}{2}R(3T_0 - T_0) = 3RT_0$$

C→A（定圧変化、\(p = p_0\)）：

$$W_\mathrm{CA} = p_0(V_0 - 3V_0) = -2p_0V_0 = -2RT_0$$ $$\Delta U_\mathrm{CA} = \frac{3}{2}R(T_0 - 3T_0) = -3RT_0$$ $$Q_\mathrm{CA} = \Delta U_\mathrm{CA} + W_\mathrm{CA}' \quad (\text{ここで } W' = -W_\mathrm{CA} = 2RT_0)$$

注意：\(W_\mathrm{CA}\) は気体が外部にした仕事 \(W' = p_0\Delta V = p_0(V_0 - 3V_0) = -2p_0V_0 = -2RT_0\)。

$$Q_\mathrm{CA} = -3RT_0 + (-2RT_0) = -5RT_0$$
答え：
$$Q_\mathrm{AB} = 3RT_0 \text{（吸収）}, \quad Q_\mathrm{CA} = -5RT_0 \text{（放出）}$$
Point

定積：\(Q = nC_V\Delta T = \dfrac{3}{2}nR\Delta T\)。定圧：\(Q = nC_p\Delta T = \dfrac{5}{2}nR\Delta T\)。

設問(3)　1サイクルの正味の仕事

直感的理解
p-V 図の閉じた経路が囲む面積が正味の仕事。三角形の面積として計算できる。

計算：三角形 ABC の面積：

$$W' = \frac{1}{2} \times (3V_0 - V_0) \times (3p_0 - p_0) = \frac{1}{2} \times 2V_0 \times 2p_0 = 2p_0V_0 = 2RT_0$$

時計回りなので正の仕事（実際には反時計回りかを確認）。A→B→C→A は反時計回りなので外部から仕事をされる（\(W' < 0\)）。

確認：\(W'_\text{net} = W_\mathrm{AB} + W_\mathrm{BC} + W_\mathrm{CA} = 0 + W_\mathrm{BC} + (-2RT_0)\)

\(W_\mathrm{BC}\) = 台形の面積 = \(\dfrac{1}{2}(3p_0 + p_0)(3V_0 - V_0) = 4p_0V_0 = 4RT_0\)

\(W'_\text{net} = 0 + 4RT_0 - 2RT_0 = 2RT_0\)（正：時計回り）

答え：
$$W'_\text{net} = 2p_0V_0 = 2RT_0$$
Point

p-V 図の閉じた経路の面積 = 1サイクルの正味の仕事。三角形なら底辺×高さ÷2。

設問(4)(5)(6)　B→C の関係式と最高温度

直感的理解
B→C の直線上で \(p\) と \(V\) は1次関係。\(T = pV/(nR)\) に代入すると \(T\) は \(V\) の2次関数（放物線）になる。放物線の頂点が最高温度。

(4) p-V 関係式：B(\(V_0, 3p_0\)) と C(\(3V_0, p_0\)) を通る直線：

(5) T-V 関係式：\(T = \dfrac{pV}{R}\) に代入（\(n = 1\)）：

\(T_0 = p_0V_0/R\) を用いると：

グラフは上に凸の放物線（上図）。

(6) 最高温度：\(\dfrac{dT}{dV} = 0\) より：

答え：

(4) \(p = 4p_0 - \dfrac{p_0}{V_0}V\)

(5) \(T = T_0\left(\dfrac{4V}{V_0} - \dfrac{V^2}{V_0^2}\right)\)（上に凸の放物線）

(6) \(T_\mathrm{max} = 4T_0\)（\(V = 2V_0\) のとき）

Point

p-V 図上の直線的変化では \(T(V)\) が2次関数になる。最高（最低）温度は微分して \(dT/dV = 0\) の条件から求まる。