直感的理解

ばね付きピストンでは、ピストンが移動するとばねの力が変わる。よって気体の圧力は体積に対して線形に変化する。p-V 図では右上がりの直線になる。ピストンが動かない（ばね自然長以下の）温度範囲では定積変化。

ばね付きピストンの力のつりあい：

ここで $x$ はばねの伸び、$\Delta V = Sx$ より：

p-V 図上で傾き $k/S^2$ の直線になります。

A→B：ばね自然長でピストンが動かない → 定積変化（垂直線）

B→C：ピストンが動き出す → 右上がりの直線

答え：
p-V 図は上のグラフの通り。A→B は定積変化（垂直）、B→C はばねの伸びに伴う直線的増加。

Point

ばね付きピストン：$p = p_0 + (k/S^2)(V - V_0)$。p-V 図は直線。仕事は台形の面積。

直感的理解

A→B（定積変化）：

B→C（ばね伸長）：

仕事は台形の面積：

答え：

仕事： $$ W_\mathrm{AB} = 0 $$ , $W_\mathrm{BC} = \dfrac{1}{2}(p_\mathrm{B} + p_\mathrm{C})(V_\mathrm{C} - V_\mathrm{B})$

熱量：$Q_\mathrm{AB} = \dfrac{3}{2}nR\Delta T_\mathrm{AB}$, $Q_\mathrm{BC} = \dfrac{3}{2}nR\Delta T_\mathrm{BC} + W_\mathrm{BC}$

補足：ばねに蓄えられるエネルギー

気体が外部にした仕事 $W'$ は、大気を押す仕事と、ばねの弾性エネルギーの増加に分配されます：

$$W' = p_0\Delta V + \frac{1}{2}k(\Delta x)^2$$

これは台形の面積 $\frac{1}{2}(p_\mathrm{B} + p_\mathrm{C})\Delta V$ と一致します。

Point

ばね付きピストンの問題では、(1) ピストンの力のつりあい → p-V 関係、(2) p-V 図の面積 → 仕事、(3) 熱力学第一法則 → 熱量の3ステップで解く。

上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。

気体 $n = 1.0$ mol, $R = 8.31$ J/(mol·K), 初温 $T_1 = 300$ K, ばね定数 $k = 100$ N/m, 面積 $S = 1.0\times 10^{-3}$ m$^2$ とする:

$$p_0 = 1.0\times 10^5 \text{ Pa}, \quad V_1 = \frac{nRT_1}{p_0} \fallingdotseq 2.49\times 10^{-2} \text{ m}^3$$

ピストンが $\Delta x = 0.10$ m 動いたときのばね力:

$$F_{sp} = k\Delta x = 100\times 0.10 = 10 \text{ N}$$ $$p_2 = p_0 + \frac{F_{sp}}{S} = 1.0\times 10^5 + 1.0\times 10^4 = 1.1\times 10^5 \text{ Pa}$$

Point

記号の式に具体的な数値を代入することで、オーダー (桁) と単位を同時に検算できる。入試でも概数での検算は有効。

応用問題264 ばね付きピストン