基本問題245 平均運動エネルギー

気体分子の平均運動エネルギー

直感的理解
気体分子1個の平均運動エネルギーは温度だけで決まり、気体の種類（分子量）に依存しません。温度 \(T\) が同じならば、軽い分子でも重い分子でも平均運動エネルギーは等しくなります。

設定：温度 \(T = 300\) K の気体1分子の平均運動エネルギーを求める。ボルツマン定数 \(k = 1.38 \times 10^{-23}\) J/K。気体は理想気体とする。

公式：気体分子1個の平均運動エネルギー \(\bar{\varepsilon}\) は、温度 \(T\) のみで決まります：

$$\bar{\varepsilon} = \frac{3}{2}k_B T$$

数値代入：\(k_B = 1.38 \times 10^{-23}\) J/K、\(T = 300\) K を代入すると：

$$\bar{\varepsilon} = \frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300 = \frac{3}{2} \times 4.14 \times 10^{-21}$$ $$= 6.21 \times 10^{-21} \text{ J}$$
答え：
$$\bar{\varepsilon} = 6.21 \times 10^{-21} \text{ J}$$

気体の種類に関係なく、同じ温度の気体分子の平均運動エネルギーは等しい。

補足：気体定数とボルツマン定数の関係

気体定数 \(R\) とボルツマン定数 \(k\) の関係は

$$R = N_\mathrm{A} k$$

よって \(k = \dfrac{R}{N_\mathrm{A}} = \dfrac{8.31}{6.02 \times 10^{23}} = 1.38 \times 10^{-23}\) J/K

1 mol の気体分子の運動エネルギーの合計は \(N_\mathrm{A} \cdot \dfrac{3}{2}kT = \dfrac{3}{2}RT\) となり、これが単原子分子理想気体の内部エネルギーです。

Point

気体分子の平均運動エネルギー \(\bar{\varepsilon} = \dfrac{3}{2}kT\) は温度のみで決まり、分子の種類（質量・分子量）には無関係。これは気体分子運動論の最重要結果です。