気体分子の運動と圧力

問題設定：同じ温度の水素（分子量 2）と酸素（分子量 32）がある。

(1) 平均運動エネルギーの比較：

気体分子の平均運動エネルギーは温度 \(T\) のみで決まるので：

$$\bar{\varepsilon} = \frac{3}{2}k_B T$$

水素でも酸素でも同じ温度なら \(\bar{\varepsilon}\) は同じ値です。すなわち、等しい。

(2) 二乗平均速度の比：

平均運動エネルギーが等しいことから：

$$\frac{1}{2}m_{\mathrm{H_2}}\overline{v_{\mathrm{H_2}}^2} = \frac{1}{2}m_{\mathrm{O_2}}\overline{v_{\mathrm{O_2}}^2}$$

よって二乗平均速度の比は分子量の逆比になります：

$$\frac{\overline{v_{\mathrm{H_2}}^2}}{\overline{v_{\mathrm{O_2}}^2}} = \frac{m_{\mathrm{O_2}}}{m_{\mathrm{H_2}}} = \frac{32}{2} = 16$$

二乗平均速度（のルート）の比は：

$$\sqrt{\overline{v_{\mathrm{H_2}}^2}} : \sqrt{\overline{v_{\mathrm{O_2}}^2}} = \sqrt{16} : 1 = 4 : 1$$

補足：分子運動論の圧力公式の導出概要

1辺 \(L\) の立方体容器に質量 \(m\) の分子 \(N\) 個が入っているとき、壁面への圧力は

$$p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}$$

状態方程式 \(pV = NkT\) と比較すると

$$\frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}kT$$

が導かれます。