気体分子の運動と圧力

設定：同じ温度の水素（分子量 2）と窒素（分子量 28）がある。

(1) 分子の二乗平均速度の比：

同温の気体分子は同じ平均運動エネルギーを持つので：

$$\frac{1}{2}m_{\mathrm{H_2}}\overline{v_{\mathrm{H_2}}^2} = \frac{1}{2}m_{\mathrm{N_2}}\overline{v_{\mathrm{N_2}}^2} = \frac{3}{2}k_B T$$

よって二乗平均速度の比は分子量の逆比になります：

$$\frac{\overline{v_{\mathrm{H_2}}^2}}{\overline{v_{\mathrm{N_2}}^2}} = \frac{m_{\mathrm{N_2}}}{m_{\mathrm{H_2}}} = \frac{28}{2} = 14$$

二乗平均速度（のルート）の比は：

$$\sqrt{\overline{v_{\mathrm{H_2}}^2}} : \sqrt{\overline{v_{\mathrm{N_2}}^2}} = \sqrt{14} : 1 \fallingdotseq 3.7 : 1$$

分子量比が 28:2 = 14:1 なので、速度のルート比は \(\sqrt{14}:1 \fallingdotseq 3.7:1\) です。

(2) 混合気体の圧力：

容器に水素と窒素を混合したとき、全圧はドルトンの法則より各気体の分圧の和です：

$$p_{\text{全}} = p_{\mathrm{H_2}} + p_{\mathrm{N_2}}$$

それぞれ独立に理想気体の状態方程式が成り立つので：

$$p_{\mathrm{H_2}} = \frac{n_{\mathrm{H_2}}RT}{V}, \quad p_{\mathrm{N_2}} = \frac{n_{\mathrm{N_2}}RT}{V}$$

補足：気体分子運動論からの圧力導出

一辺 \(L\) の立方体容器に質量 \(m\) の分子 \(N\) 個が入っているとき、壁面に及ぼす圧力は

$$p = \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}$$

ここで \(V = L^3\) は容器の体積。\(\overline{v^2}\) は速度の二乗平均です。

状態方程式 \(pV = NkT\) と比較すると \(\dfrac{1}{2}m\overline{v^2} = \dfrac{3}{2}kT\) が導かれます。