気体分子の二乗平均速度の計算

設定：窒素ガス（分子量 \(M = 28\)）の気体分子。アボガドロ定数 \(N_\mathrm{A} = 6.0 \times 10^{23}\) /mol、気体定数 \(R = 8.3\) J/(mol·K)。

(1) 窒素分子1個の質量 \(m\)：

分子量 \(M = 28\) g/mol = \(28 \times 10^{-3}\) kg/mol をアボガドロ定数で割ります：

$$m = \frac{M}{N_\mathrm{A}} = \frac{28 \times 10^{-3}}{6.0 \times 10^{23}} = 4.67 \times 10^{-26} \fallingdotseq 4.7 \times 10^{-26} \text{ kg}$$

(2) 温度 \(T = 300\) K における二乗平均速度 \(\sqrt{\overline{v^2}}\)：

分子1個の平均運動エネルギーと温度の関係から：

$$\frac{1}{2}m\overline{v^2} = \frac{3}{2}k_\mathrm{B}T = \frac{3}{2} \cdot \frac{R}{N_\mathrm{A}} \cdot T$$

\(n\) mol 全体で考えると \(\overline{v^2} = \dfrac{3RT}{M}\)（\(M\) は kg/mol 単位）を使う方が便利です：

$$\overline{v^2} = \frac{3RT}{M} = \frac{3 \times 8.3 \times 300}{28 \times 10^{-3}} = \frac{7470}{0.028} = 2.668 \times 10^5 \text{ m}^2/\text{s}^2$$ $$\sqrt{\overline{v^2}} = \sqrt{2.668 \times 10^5} \fallingdotseq 5.2 \times 10^2 \text{ m/s}$$

補足：分子量を使った公式の書き方

\(\overline{v^2} = \dfrac{3RT}{M}\) の \(M\) は kg/mol 単位（SI単位）で代入します。窒素なら \(M = 28 \times 10^{-3}\) kg/mol。

g/mol のまま使うなら \(\overline{v^2} = \dfrac{3 \times 10^3 RT}{M_{\mathrm{g}}}\) とする必要があります。