直感的理解

2つの断熱容器をつなぐと、外部との熱のやり取りも仕事もないので、全体の内部エネルギーは保存されます。高温側は冷え、低温側は温まり、やがて共通の温度に達します。

設定：断熱容器1に $n_1$ mol の単原子分子理想気体（温度 $T_1$）、断熱容器2に $n_2$ mol（温度 $T_2$）。コックを開いて混合させる。

内部エネルギー保存の適用：

断熱容器で外部への仕事もないため、$Q = 0$、$W = 0$ より $\Delta U = 0$。

混合前後で内部エネルギーの合計が等しい：

$$U_{\text{前}} = U_{\text{後}}$$ $$\frac{3}{2}n_1 RT_1 + \frac{3}{2}n_2 RT_2 = \frac{3}{2}(n_1 + n_2)RT$$

$\dfrac{3}{2}R$ で割ると：

$$n_1 T_1 + n_2 T_2 = (n_1 + n_2)T$$

$T$ について解くと：

答え：
$$T = \frac{n_1 T_1 + n_2 T_2}{n_1 + n_2}$$

（モル数で重みを付けた加重平均温度）

補足：体積が変化する場合との違い

もし一方が真空（$n_2 = 0$）の容器につなぐ「自由膨張」の場合、気体は仕事をせずに膨張するので温度は変化しません（$T = T_1$）。

ピストンを介した場合は気体が仕事をするため、温度は下がります。断熱自由膨張との違いに注意しましょう。

Point

断熱容器内の気体の混合では内部エネルギーが保存される。混合後の温度は各気体のモル数と温度の加重平均になります。$\Delta U = Q - W$ で $Q = W = 0$ であることを確認しましょう。

基本問題251 気体の状態変化