基本問題252 定積変化，定圧変化

定積変化と定圧変化の識別と計算

直感的理解
定積変化では体積が変わらないので気体は仕事をせず（\(W = 0\)）、加えた熱はすべて内部エネルギーの増加になります。一方、定圧変化では気体が膨張して仕事をするため、同じ温度変化でもより多くの熱が必要です。p-V図上で定積変化は縦線、定圧変化は横線として現れます。

設定：ピストン付きシリンダーに理想気体が入っている。以下の各過程を識別する。

(1) 圧力を一定に保ち体積を変化させる → 定圧変化

気体がする仕事と熱の関係（熱力学第一法則 $\Delta U = Q - W$）：

$$W = p\Delta V, \quad Q = \Delta U + p\Delta V = nC_p \Delta T$$

(2) 体積を一定に保ち圧力を変化させる → 定積変化

$$W = 0, \quad Q = \Delta U = nC_V \Delta T = \frac{3}{2}nR\Delta T$$

(3) 熱の出入りなしに体積を変化させる → 断熱変化

$$Q = 0, \quad \Delta U = -W$$

気体が膨張（$W > 0$）すると $\Delta U < 0$ で温度が下がる。ポアソンの式 $pV^\gamma = \text{一定}$。

(4) 温度を一定に保ち体積を変化させる → 等温変化

$$\Delta U = 0, \quad Q = W = nRT\ln\frac{V_2}{V_1}$$
答え：

(1) 定圧変化 \(\quad\) (2) 定積変化

(3) 断熱変化 \(\quad\) (4) 等温変化

過程 一定量 \(W\) \(Q\)
定積 \(V\) \(0\) \(\Delta U\)
定圧 \(p\) \(p\Delta V\) \(\Delta U + W\)
等温 \(T\) \(nRT\ln\frac{V_2}{V_1}\) \(W\)
断熱 \(Q = 0\) \(-\Delta U\) \(0\)
補足：気体がへる仕事のp-V図での意味

p-V 図において、気体がした仕事 \(W\) は曲線と V 軸で囲まれた面積に等しい。

  • 定積変化：縦線なので面積 = 0 → \(W = 0\)
  • 定圧変化：長方形の面積 → \(W = p\Delta V\)
  • 等温変化：双曲線の下の面積 → \(W = nRT\ln(V_2/V_1)\)
Point

4つの基本過程（定積・定圧・等温・断熱）の特徴を「何が一定か」と「熱力学第一法則 \(\Delta U = Q - W\) の各項がどうなるか」で整理する。定積なら \(W = 0\)、断熱なら \(Q = 0\)、等温なら \(\Delta U = 0\) が出発点になります。

数値例で確認

上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。

単原子理想気体 \(n = 1.0\) mol, \(R = 8.31\) J/(mol·K), \(\Delta T = 100\) K とする。定積変化:

$$Q_V = \frac{3}{2}nR\Delta T = 1.5\times 1.0\times 8.31\times 100 \fallingdotseq 1247 \text{ J}$$

定圧変化:

$$Q_p = \frac{5}{2}nR\Delta T = 2.5\times 1.0\times 8.31\times 100 \fallingdotseq 2078 \text{ J}$$ $$W = nR\Delta T = 1.0\times 8.31\times 100 = 831 \text{ J}$$
Point

記号の式に具体的な数値を代入することで、オーダー (桁) と単位を同時に検算できる。入試でも概数での検算は有効。