定積変化と定圧変化の計算

設定：\(n\) mol の単原子分子理想気体。圧力 \(p_0\) [Pa]、温度 \(T_1\) [K] を \(T_2\) [K] まで定圧で加熱する。

(1) 体積の変化量 \(\Delta V\)：

状態方程式 \(pV = nRT\) より、定圧（\(p = p_0\) 一定）では：

$$p_0 V_1 = nRT_1, \quad p_0 V_2 = nRT_2$$

辺々引くと：

$$p_0 (V_2 - V_1) = nR(T_2 - T_1)$$ $$\Delta V = V_2 - V_1 = \frac{nR(T_2 - T_1)}{p_0}$$

(2) 内部エネルギーの変化 \(\Delta U\)：

単原子分子理想気体の内部エネルギーは \(U = \dfrac{3}{2}nRT\) なので：

$$\Delta U = \frac{3}{2}nRT_2 - \frac{3}{2}nRT_1 = \frac{3}{2}nR(T_2 - T_1)$$

(3) 気体がした仕事 \(W\)：

定圧変化では \(W = p_0 \Delta V\) なので、(1) の結果を代入すると：

$$W = p_0 \cdot \frac{nR(T_2 - T_1)}{p_0} = nR(T_2 - T_1)$$

(4) 吸収した熱量 \(Q\)：

熱力学第一法則 \(\Delta U = Q - W\)（\(Q = \Delta U + W\)）より：

$$Q = \frac{3}{2}nR(T_2 - T_1) + nR(T_2 - T_1) = \frac{5}{2}nR(T_2 - T_1)$$

補足：定圧モル比熱 \(C_p\) と定積モル比熱 \(C_V\) の関係

定積変化: \(Q_V = nC_V \Delta T = \dfrac{3}{2}nR\Delta T\) より \(C_V = \dfrac{3}{2}R\)

定圧変化: \(Q_p = nC_p \Delta T = \dfrac{5}{2}nR\Delta T\) より \(C_p = \dfrac{5}{2}R\)

マイヤーの関係式：\(C_p - C_V = R\)

定圧変化では膨張の仕事の分だけ余分に熱が必要なので \(C_p > C_V\) となります。

🧮 数値計算で確認

\(T_1 = 300\) K、\(P_1 = 1.0 \times 10^5\) Pa、\(V_1 = 5.0 \times 10^{-3}\) m³ の気体を等圧で \(T_2 = 600\) K に加熱：

$$V_2 = V_1 \times \frac{T_2}{T_1} = 5.0 \times 10^{-3} \times \frac{600}{300} = 1.0 \times 10^{-2} \text{ m}^3$$ $$W = P\Delta V = 1.0 \times 10^5 \times 5.0 \times 10^{-3} = 500 \text{ J}$$