直感的理解

断熱変化では外部と熱のやり取りがないため $Q = 0$。膨張する場合、仕事の分だけ内部エネルギーが減少し温度が下がります。逆に圧縮すると温度が上がります。p-V 図上では等温変化より急な曲線になります。

設定：単原子分子理想気体 $n$ mol。断熱膨張で体積を $V_1$ から $V_2$ に変化させる。外部からの仕事 $W'$ が与えられている。

熱力学第一法則：

断熱変化では $Q = 0$ なので

$$\Delta U = Q - W = 0 - W = -W$$

気体が外部にした仕事 $W > 0$（膨張）のとき、$\Delta U < 0$ となり温度は下がる。

温度変化の計算：

単原子分子理想気体の場合 $\Delta U = \dfrac{3}{2}nR\Delta T$ なので：

$$\frac{3}{2}nR\Delta T = -W \quad \Rightarrow \quad \Delta T = -\frac{2W}{3nR}$$

膨張（$W > 0$）なら $\Delta T < 0$ で温度が下がり、圧縮（$W < 0$）なら $\Delta T > 0$ で温度が上がります。

答え：

断熱膨張: $Q = 0$、$\Delta U = -W < 0$（温度低下）

断熱圧縮: $Q = 0$、$\Delta U = -W > 0$（温度上昇）

$\Delta T = -\dfrac{2W}{3nR}$

補足：ポアソンの関係式

断熱変化では以下の関係（ポアソンの式）が成り立ちます：

$$pV^\gamma = \text{一定}, \quad TV^{\gamma-1} = \text{一定}$$

ここで $\gamma = \dfrac{C_p}{C_V}$ は比熱比で、単原子分子では $\gamma = \dfrac{5}{3}$。

p-V図上で断熱曲線が等温曲線（$pV = \text{一定}$）より急勾配になるのは $\gamma > 1$ のためです。

Point

断熱変化: $Q = 0$ → $\Delta U = -W$。膨張 → 温度低下、圧縮 → 温度上昇。p-V 図上で断熱曲線は等温曲線より急な傾きになります。$pV^\gamma = \text{一定}$ がポアソンの式です。

基本問題254 断熱変化