設定：圧力 \(p_A = 1.2 \times 10^5\) Pa、体積 \(V_A = 8.0 \times 10^{-3}\) m³、温度 \(T_A = 300\) K の単原子分子理想気体が断熱膨張し体積 \(V_B = 2.7 \times 10^{-2}\) m³ になった。
(1) 状態 B の圧力：
断熱変化では $pV^\gamma = \text{一定}$（$\gamma = \dfrac{5}{3}$）より
$$p_A V_A^\gamma = p_B V_B^\gamma$$ $$p_B = p_A \left(\frac{V_A}{V_B}\right)^\gamma = 1.2 \times 10^5 \times \left(\frac{8.0 \times 10^{-3}}{2.7 \times 10^{-2}}\right)^{5/3}$$ $$= 1.2 \times 10^5 \times \left(\frac{8}{27}\right)^{5/3} = 1.2 \times 10^5 \times \left(\frac{2}{3}\right)^5 = 1.2 \times 10^5 \times \frac{32}{243} \fallingdotseq 1.6 \times 10^4 \text{ Pa}$$(2) 状態 B の温度：
$TV^{\gamma-1} = \text{一定}$ より
$$T_B = T_A \left(\frac{V_A}{V_B}\right)^{\gamma-1} = 300 \times \left(\frac{8}{27}\right)^{2/3} = 300 \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 300 \times \frac{4}{9} \fallingdotseq 133 \text{ K}$$(3) 内部エネルギーの変化：
$$\Delta U = \frac{3}{2}nR(T_B - T_A) = \frac{3}{2}nR(133 - 300) = -\frac{3}{2}nR \times 167 \text{ J}$$(1) \(p_B \fallingdotseq 1.6 \times 10^4\) Pa
(2) \(T_B \fallingdotseq 133\) K
(3) \(\Delta U = \dfrac{3}{2}nR(T_B - T_A) < 0\)（温度低下により内部エネルギー減少）
\(p_B, V_B\) が求まれば状態方程式から直接計算できます：
$$T_B = \frac{p_B V_B}{nR}$$まず物質量を求める：\(n = \dfrac{p_A V_A}{RT_A} = \dfrac{1.2 \times 10^5 \times 8.0 \times 10^{-3}}{8.3 \times 300} \fallingdotseq 0.385\) mol
$$T_B = \frac{1.6 \times 10^4 \times 2.7 \times 10^{-2}}{0.385 \times 8.3} \fallingdotseq \frac{432}{3.20} \fallingdotseq 135 \text{ K}$$断熱変化の3つの関係式を使い分ける：(1) \(pV^\gamma = \text{一定}\)、(2) \(TV^{\gamma-1} = \text{一定}\)、(3) \(T^\gamma p^{1-\gamma} = \text{一定}\)。\(\left(\dfrac{8}{27}\right)^{1/3} = \dfrac{2}{3}\) のような整数比の計算に慣れましょう。