基本問題256 p-V図とV-T図

気体の状態変化と p-V 図・V-T 図の対応

直感的理解
p-V図とV-T図は同じ状態変化を異なる変数の組で表現したものです。定圧変化はp-V図で水平線、V-T図で原点を通る直線。定積変化はp-V図で垂直線、V-T図で水平線。等温変化はp-V図で双曲線、V-T図で垂直線になります。

設定：\(n\) mol の単原子分子理想気体が A→B（定圧膨張）→ B→C（定積冷却）→ C→A（等温圧縮）の3つの過程を経る。

各過程の特徴：

A→B（定圧変化）：$p$ 一定で $V_A \to 2V_A$, $T_A \to 2T_A$

$$W_{AB} = p_A(V_B - V_A) = p_A V_A = nRT_A, \quad Q_{AB} = \frac{5}{2}nR(T_B - T_A) = \frac{5}{2}nRT_A$$

B→C（定積変化）：$V$ 一定で $p_B \to p_C = p_B/2$, $T_B \to T_A$

$$W_{BC} = 0, \quad Q_{BC} = \Delta U_{BC} = \frac{3}{2}nR(T_C - T_B) = \frac{3}{2}nR(T_A - 2T_A) = -\frac{3}{2}nRT_A$$

C→A（等温変化）：$T = T_A$ 一定で $V_C = 2V_A \to V_A$（圧縮）

$$W_{CA} = nRT_A \ln\frac{V_A}{2V_A} = -nRT_A \ln 2, \quad Q_{CA} = W_{CA} = -nRT_A \ln 2$$
答え：

p-V図: A→B 水平線、B→C 垂直線、C→A 双曲線

V-T図: A→B 原点に向かう直線、B→C 水平線、C→A 垂直線

気体が吸収した熱量 \(Q_{AB}\)、放出した熱量 \(|Q_{BC}| + |Q_{CA}|\)

補足：V-T 図で定圧変化が原点を通る直線になる理由

定圧では \(pV = nRT\) より \(V = \dfrac{nR}{p}T\)。

これは原点を通る傾き \(\dfrac{nR}{p}\) の直線です。圧力が大きいほど傾きが小さくなります。

Point

p-V図とV-T図の対応を覚えよう：定圧→(水平/直線)、定積→(垂直/水平)、等温→(双曲線/垂直)。1サイクルでは \(\Delta U = 0\) なので \(Q_\text{total} = W_\text{total}\)（p-V図の囲む面積）。

数値例で確認

上で導いた結果に具体的な数値を代入し、計算の流れを確認します。

状態 A: \(p_A = 2.0\times 10^5\) Pa, \(V_A = 1.0\times 10^{-3}\) m\(^3\). 等温で B: \(V_B = 2.0\times 10^{-3}\) m\(^3\):

$$p_B = p_A \frac{V_A}{V_B} = 2.0\times 10^5 \times 0.5 = 1.0\times 10^5 \text{ Pa}$$

状態 A の温度 (n = 0.05 mol と仮定):

$$T_A = \frac{p_A V_A}{nR} = \frac{200}{0.05\times 8.31} \fallingdotseq 481 \text{ K}$$ $$\frac{V_A}{T_A} \fallingdotseq 2.08\times 10^{-6} \text{ m}^3/\text{K}$$
Point

記号の式に具体的な数値を代入することで、オーダー (桁) と単位を同時に検算できる。入試でも概数での検算は有効。