設定：一定量の理想気体が A → B → C → D → A の状態変化を行う。
(1) 各状態の温度：
状態方程式 $pV = nRT$ より、$T = \dfrac{pV}{nR}$ を用いて
$$T_A = \frac{3p_0 V_1}{nR}, \quad T_B = \frac{p_0 V_1}{nR}, \quad T_C = \frac{p_0 \times 3V_1}{nR} = \frac{3p_0 V_1}{nR}, \quad T_D = \frac{3p_0 \times 3V_1}{nR} = \frac{9p_0 V_1}{nR}$$温度の大小関係：$T_B < T_A = T_C < T_D$（$T_A = T_C = 3T_B$、$T_D = 9T_B$）
(2) 各過程の仕事・熱量（単原子分子の場合）：
A → B（定積変化）：$W = 0$、温度低下なので
$$Q_{AB} = \Delta U = \frac{3}{2}nR(T_B - T_A) = \frac{3}{2}(p_0 V_1 - 3p_0 V_1) = -3p_0 V_1$$B → C（定圧変化）：$p_0$ で膨張
$$W_{BC} = p_0(3V_1 - V_1) = 2p_0 V_1, \quad Q_{BC} = \frac{5}{2}nR(T_C - T_B) = \frac{5}{2}(3p_0V_1 - p_0V_1) = 5p_0 V_1$$C → D（定積変化）：$W = 0$、温度上昇なので
$$Q_{CD} = \frac{3}{2}nR(T_D - T_C) = \frac{3}{2}(9p_0V_1 - 3p_0V_1) = 9p_0 V_1$$D → A（定圧変化）：$3p_0$ で圧縮
$$W_{DA} = 3p_0(V_1 - 3V_1) = -6p_0 V_1, \quad Q_{DA} = \frac{5}{2}nR(T_A - T_D) = \frac{5}{2}(3p_0V_1 - 9p_0V_1) = -15p_0 V_1$$(3) 1サイクルの正味の仕事：
p-V 図の囲まれた面積 \(= (3V_1 - V_1)(3p_0 - p_0) = 4p_0V_1\) に一致（反時計回りなので気体がされた仕事が正）。
温度の大小：\(T_B < T_A = T_C < T_D\)
気体が吸収した熱量：B→C で \(5p_0V_1\)、C→D で \(9p_0V_1\)
気体が放出した熱量：A→B で \(3p_0V_1\)、D→A で \(15p_0V_1\)
1サイクルで気体が外部にされた正味の仕事：\(4p_0V_1\)
1サイクルで \(\Delta U = 0\)（元の状態に戻る）なので
$$Q_{\text{net}} = W_{\text{net}}$$ $$Q_{\text{net}} = (-3 + 5 + 9 - 15)p_0V_1 = -4p_0V_1$$これは \(W_{\text{net}} = -4p_0V_1\) と一致し、整合性が確認できます。
（符号に注意：\(W_{\text{net}} < 0\) は気体が外部から仕事をされた = 反時計回りサイクル）
p-V 図の長方形サイクルでは、1サイクルの正味の仕事 = 囲まれた長方形の面積。時計回りなら気体が外部にした仕事が正（熱機関）、反時計回りなら逆（冷凍機）。各過程の \(W\), \(Q\), \(\Delta U\) は状態方程式 + 熱力学第一法則で機械的に求まります。
\(n = 2.0\) mol の単原子理想気体、温度 \(T = 300\) K：
$$PV = nRT = 2.0 \times 8.31 \times 300 \fallingdotseq 5.0 \times 10^3 \text{ J}$$ $$U = \frac{3}{2}nRT = \frac{3}{2} \times 5.0 \times 10^3 = 7.5 \times 10^3 \text{ J}$$ $$\text{温度が 100 K 上がると } \Delta U = \frac{3}{2} \times 2.0 \times 8.31 \times 100 \fallingdotseq 2.5 \times 10^3 \text{ J}$$