混合後の圧力と温度

Step 1：物質量を求める

容器A：\(2p_0 \times 3V_0 = n_\mathrm{A} R T_0\) より

$$n_\mathrm{A} = \frac{6p_0 V_0}{RT_0}$$

容器B：\(p_0 \times 2V_0 = n_\mathrm{B} R \times 3T_0\) より

$$n_\mathrm{B} = \frac{2p_0 V_0}{3RT_0}$$

Step 2：内部エネルギーの保存で温度 $T$ を求める

単原子分子理想気体の内部エネルギー $U = \dfrac{3}{2}nRT$ を使います。断熱容器なので混合前後で $U$ の総和が保存：

$$\frac{3}{2}n_\mathrm{A} RT_0 + \frac{3}{2}n_\mathrm{B} R \cdot 3T_0 = \frac{3}{2}(n_\mathrm{A} + n_\mathrm{B})RT$$

$\dfrac{3}{2}R$ で割ると：

$$n_\mathrm{A} T_0 + 3n_\mathrm{B} T_0 = (n_\mathrm{A} + n_\mathrm{B})T$$

$n_\mathrm{A}$ と $n_\mathrm{B}$ を代入すると：

$$\frac{6p_0 V_0}{RT_0} \cdot T_0 + 3 \cdot \frac{2p_0 V_0}{3RT_0} \cdot T_0 = \left(\frac{6p_0 V_0}{RT_0} + \frac{2p_0 V_0}{3RT_0}\right)T$$ $$\frac{6p_0 V_0}{R} + \frac{2p_0 V_0}{R} = \frac{20p_0 V_0}{3RT_0}\,T$$ $$\frac{8p_0 V_0}{R} = \frac{20p_0 V_0}{3RT_0}\,T \quad \therefore \; T = \frac{8 \times 3T_0}{20} = \frac{6}{5}T_0$$

Step 3：混合後の圧力 $p$ を求める

混合後の体積は $V = 3V_0 + 2V_0 = 5V_0$。状態方程式より：

$$p \cdot 5V_0 = (n_\mathrm{A} + n_\mathrm{B})RT = \frac{20p_0 V_0}{3RT_0} \cdot R \cdot \frac{6T_0}{5} = 8p_0 V_0$$ $$p = \frac{8p_0 V_0}{5V_0} = \frac{8}{5}p_0$$

数値例：$p_0 = 1.0 \times 10^5$ Pa, $V_0 = 1.0 \times 10^{-3}$ m³, $T_0 = 300$ K のとき：

$$T = \frac{6}{5} \times 300 = 360 \text{ K}$$ $$p = \frac{8}{5} \times 1.0 \times 10^5 = 1.6 \times 10^5 \text{ Pa}$$

別解：\(U = \frac{3}{2}pV\) を直接使う方法

単原子分子理想気体では \(U = \dfrac{3}{2}nRT = \dfrac{3}{2}pV\) が成り立つので：

$$U_\mathrm{A} = \frac{3}{2} \cdot 2p_0 \cdot 3V_0 = 9p_0V_0$$ $$U_\mathrm{B} = \frac{3}{2} \cdot p_0 \cdot 2V_0 = 3p_0V_0$$ $$U_\mathrm{total} = 12p_0V_0$$

混合後：\(U = \dfrac{3}{2}p \cdot 5V_0 = 12p_0V_0\) → \(p = \dfrac{8}{5}p_0\)

状態方程式から \(T = \dfrac{pV}{nR} = \dfrac{6}{5}T_0\)