基本例題48 気体の状態変化

設問(1)　状態Bの温度

直感的理解
A→B は定圧変化で体積が3倍。シャルルの法則 \(V \propto T\) より温度も3倍。A の温度 \(T_0\) に対して B は \(3T_0\)。

立式：状態A と B でシャルルの法則（定圧）を適用します。

答え：
$$T_\mathrm{B} = 3T_0$$
Point

定圧変化ではシャルルの法則 \(\dfrac{V}{T} = \text{const}\) が成り立つ。体積比がそのまま温度比になる。

設問(2)　A→B の仕事と熱量

直感的理解
A→B は定圧変化（\(p = 3p_0\)）で体積が \(V_0\) → \(3V_0\) に膨張。仕事は長方形の面積 \(p\Delta V\)、内部エネルギー変化は温度変化から求まる。

仕事：

$$W_\mathrm{AB} = 3p_0(3V_0 - V_0) = 6p_0V_0$$

内部エネルギー変化：（\(n = 1\) mol、\(\Delta T = 2T_0\)）

$$\Delta U_\mathrm{AB} = \frac{3}{2} \times 1 \times R \times 2T_0 = 3RT_0$$

\(p_0V_0 = nRT_0 = RT_0\) より \(\Delta U_\mathrm{AB} = 3p_0V_0\) とも書けます。

吸収した熱量：

$$Q_\mathrm{AB} = \Delta U_\mathrm{AB} + W_\mathrm{AB} = 3RT_0 + 2RT_0 = 5RT_0$$

（\(p_0V_0 = RT_0\) を使うと \(Q_\mathrm{AB} = 3p_0V_0 + 6p_0V_0\)）

ここで状態方程式 \(3p_0 V_0 = RT_0\) なので \(p_0V_0 = \dfrac{RT_0}{3}\)。

よって \(W_\mathrm{AB} = 6 \cdot \dfrac{RT_0}{3} = 2RT_0\)、\(\Delta U_\mathrm{AB} = 3RT_0\)。

$$Q_\mathrm{AB} = 3RT_0 + 2RT_0 = 5RT_0$$
答え：
$$W_\mathrm{AB} = 6p_0V_0, \quad Q_\mathrm{AB} = 5RT_0$$
Point

定圧変化の仕事は \(W' = p\Delta V = nR\Delta T\)。吸収熱量は \(Q = nC_p\Delta T = \dfrac{5}{2}nR\Delta T\)（単原子）。

設問(3)　B→C の仕事と熱量

直感的理解
B→C は定積変化なので気体は仕事をしない（\(W_\mathrm{BC} = 0\)）。放出する熱はすべて内部エネルギーの減少分。

立式：B→C は定積変化（\(V = 3V_0\)）。\(W_\mathrm{BC} = 0\)。

温度変化：\(T_\mathrm{B} = 3T_0\)、\(T_\mathrm{C} = T_0\)（C→A が等温変化で \(T_\mathrm{C} = T_\mathrm{A} = T_0\)）

$$\Delta U_\mathrm{BC} = \frac{3}{2}R(T_0 - 3T_0) = -3RT_0$$ $$Q_\mathrm{BC} = \Delta U_\mathrm{BC} + W_\mathrm{BC} = -3RT_0 + 0 = -3RT_0$$

（負なので熱を放出）

答え：
$$W_\mathrm{BC} = 0, \quad Q_\mathrm{BC} = -3RT_0$$

（気体は \(3RT_0\) の熱を放出する）

Point

定積変化：\(W' = 0\) → \(Q = \Delta U = nC_V\Delta T\)。仕事がないため、熱のやりとり＝内部エネルギーの変化。

設問(4)　C→A の仕事と \(\Delta U\)

直感的理解
C→A は等温変化なので \(\Delta U = 0\)。気体は圧縮されるので外部に負の仕事をする（外部から仕事をされる）。放出した熱 \(Q_0\) はそのまま外部からされた仕事に等しい。

立式：等温変化なので \(\Delta U_\mathrm{CA} = 0\)。

$$Q_\mathrm{CA} = \Delta U_\mathrm{CA} + W_\mathrm{CA} = W_\mathrm{CA}$$

問題文より気体は外部に熱量 \(Q_0\) を放出するので \(Q_\mathrm{CA} = -Q_0\)。

$$W_\mathrm{CA} = -Q_0$$

（気体は外部から \(Q_0\) の仕事をされる = 圧縮される）

答え：
$$\Delta U_\mathrm{CA} = 0, \quad W_\mathrm{CA} = -Q_0$$
Point

等温変化：\(\Delta U = 0\) → \(Q = W'\)。吸収した熱はそのまま仕事に変換される（またはその逆）。

問　1サイクルの熱効率 \(e\)

直感的理解
熱効率は「吸収した熱のうち、仕事に変換された割合」。1サイクルで \(\Delta U = 0\) なので、正味の仕事 = 吸収した熱 − 放出した熱。

立式：1サイクルで気体がした正味の仕事 \(W'\)：

$$W' = W_\mathrm{AB} + W_\mathrm{BC} + W_\mathrm{CA} = 6p_0V_0 + 0 + (-Q_0) = 6p_0V_0 - Q_0$$

ここで \(p_0V_0 = \dfrac{RT_0}{3}\)（状態Aの状態方程式 \(3p_0 \cdot V_0 = RT_0\) より）なので \(6p_0V_0 = 2RT_0\)。

$$W' = 2RT_0 - Q_0$$

気体が吸収した熱量（正の \(Q\) のみ）は \(Q_\mathrm{AB} = 5RT_0\)。

\(Q_0 = 1.1RT_0\) のとき：

$$e = \frac{W'}{Q_\mathrm{in}} = \frac{2RT_0 - Q_0}{5RT_0}$$

ここで \(Q_0 = 1.1RT_0\) を代入すると：

$$e = \frac{2RT_0 - 1.1RT_0}{5RT_0} = \frac{0.9RT_0}{5RT_0} = 0.18$$
答え：
$$e = \frac{2RT_0 - Q_0}{5RT_0} = 0.18$$
補足：カルノーサイクルとの比較

カルノーサイクル（理想的な可逆サイクル）の熱効率は \(e_\mathrm{Carnot} = 1 - \dfrac{T_\mathrm{低}}{T_\mathrm{高}}\) です。この問題で高温 \(3T_0\)、低温 \(T_0\) とすると \(e_\mathrm{Carnot} = 1 - \dfrac{1}{3} \fallingdotseq 0.67\)。実際のサイクルの効率 0.18 はカルノー効率を大きく下回っていることがわかります。

Point

熱効率 \(e = \dfrac{W'}{Q_\mathrm{in}} = \dfrac{Q_\mathrm{in} - Q_\mathrm{out}}{Q_\mathrm{in}}\)。\(Q_\mathrm{in}\) は気体が吸収した熱量の合計、\(Q_\mathrm{out}\) は放出した熱量の合計（絶対値）。