波の速さ・波長・振動数

設定：

• 船の長さ：\(L\) [m]、船の速さ：\(v\) [m/s]
• 波の進行方向と逆向きに船が進む
• 船首に山が当たってから船尾を通過するまでの時間：\(t_1\) [s]
• 次の山が船首に当たるまでの時間：\(t_2\) [s]

立式：船から見ると、波は速さ \(V + v\) で近づきます（相対速度）。

山が船首から船尾まで（長さ \(L\)）を通過する時間が \(t_1\) なので：

$$L = (V + v) \, t_1 \quad \cdots \text{①}$$

次の山が船首に到達する時間 \(t_2\) は、波長 \(\lambda\) 分の距離を相対速度で進む時間：

$$\lambda = (V + v) \, t_2 \quad \cdots \text{②}$$

解法：

②÷① で \(V + v\) を消去すると：

$$\frac{\lambda}{L} = \frac{t_2}{t_1} \quad \Rightarrow \quad \lambda = L \cdot \frac{t_2}{t_1}$$

① から波の速さ \(V\) を求めると：

$$V + v = \frac{L}{t_1} \quad \Rightarrow \quad V = \frac{L}{t_1} - v$$

振動数は \(f = V / \lambda\) より：

$$f = \frac{V}{\lambda} = \frac{\dfrac{L}{t_1} - v}{L \cdot \dfrac{t_2}{t_1}} = \frac{L - v \, t_1}{L \, t_2} = \frac{1}{t_2}\left(1 - \frac{v \, t_1}{L}\right)$$

別解：波面の視点で考える

地面に固定した観測者の視点では、波の山は速さ \(V\) で進み、船は速さ \(v\) で逆向きに進みます。

山が船首に到達してから船尾に到達するまでに、山は \(V t_1\) 進み、船は \(v t_1\) 逆向きに進みます。

$$L = V t_1 + v t_1 = (V + v) t_1$$

これは同じ結果になります。

🧮 数値計算で確認

波長 \(\lambda = 0.80\) m、振動数 \(f = 425\) Hz の場合：

$$v = f\lambda = 425 \times 0.80 = 340 \text{ m/s}$$ $$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{425} \fallingdotseq 2.4 \times 10^{-3} \text{ s}$$ $$\text{2.0 m 先に到達する時間: } t = \frac{2.0}{340} \fallingdotseq 5.9 \times 10^{-3} \text{ s}$$