定在波の節・腹と媒質の運動

定在波の原理：

振幅 $A$、波長 $\lambda$、周期 $T$ の正弦波が互いに逆向きに進むと、合成波は定在波になります。

定在波の合成式：振幅 $A$、波数 $k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$、角振動数 $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ の2つの波を重ね合わせると：

$$y = A\sin(kx - \omega t) + A\sin(kx + \omega t) = 2A\sin(kx)\cos(\omega t)$$

(1) 腹の位置：

$|\sin(kx)| = 1$（振幅最大）となる $x$ を求めます：

$$kx = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)$$ $$\frac{2\pi}{\lambda}x = \frac{(2n+1)\pi}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{(2n+1)\lambda}{4}$$ $$\therefore \quad x = \frac{\lambda}{4},\; \frac{3\lambda}{4},\; \frac{5\lambda}{4},\; \ldots$$

数値例：$\lambda = 4.0$ m のとき、腹の位置は：

$$x = \frac{4.0}{4} = 1.0 \text{ m},\quad \frac{3 \times 4.0}{4} = 3.0 \text{ m},\quad \frac{5 \times 4.0}{4} = 5.0 \text{ m},\; \ldots$$

(2) 節の位置：

$\sin(kx) = 0$（常に変位ゼロ）となる $x$ を求めます：

$$kx = n\pi \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)$$ $$\frac{2\pi}{\lambda}x = n\pi \quad \Rightarrow \quad x = \frac{n\lambda}{2}$$ $$\therefore \quad x = 0,\; \frac{\lambda}{2},\; \lambda,\; \frac{3\lambda}{2},\; \ldots$$

数値例：$\lambda = 4.0$ m のとき、節の位置は：

$$x = 0,\quad \frac{4.0}{2} = 2.0 \text{ m},\quad 4.0 \text{ m},\quad \frac{3 \times 4.0}{2} = 6.0 \text{ m},\; \ldots$$

(3) 定在波の振幅：

合成式 $y = 2A\sin(kx)\cos(\omega t)$ の最大変位は $|\sin(kx)| = 1$ のとき：

$$|y|_\text{max} = 2A$$

つまり定在波の振幅は元の波の振幅の 2倍 です。

数値例：各波の振幅 $A = 2.0$ cm のとき、定在波の振幅は $2A = 2 \times 2.0 = 4.0$ cm。

(4) 隣り合う節の間隔：

節は $x = 0, \dfrac{\lambda}{2}, \lambda, \ldots$ にあるので、隣り合う節の間隔は：

$$\Delta x = \frac{\lambda}{2} - 0 = \frac{\lambda}{2}$$

数値例：$\lambda = 4.0$ m のとき、節の間隔は $\dfrac{4.0}{2} = 2.0$ m。腹の間隔も同じく $2.0$ m です。

別解：三角関数の和積公式による導出

和積公式 $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}$ を使います。

$$y_1 + y_2 = A\sin(kx - \omega t) + A\sin(kx + \omega t)$$ $$= 2A\sin\left(\frac{(kx-\omega t)+(kx+\omega t)}{2}\right)\cos\left(\frac{(kx-\omega t)-(kx+\omega t)}{2}\right)$$ $$= 2A\sin(kx)\cos(\omega t)$$

$\sin(kx)$ は位置だけで決まる振幅関数、$\cos(\omega t)$ は時間変化を表す。