設定：x軸を正の向きに進む波と負の向きに進む波（ともに振幅 $A$、波長 $\lambda$、速さ $v$）が重なり合って定在波が生じている。図の x軸の合成波の節の位置を $t = T$ のとき求める。
(1) 合成波の節の位置：
正の向きに進む波 \(y_1 = A\sin(kx - \omega t)\) と負の向きに進む波 \(y_2 = A\sin(kx + \omega t)\) の合成波は、和積公式より：
$$y = y_1 + y_2 = 2A\sin(kx)\cos(\omega t)$$節は振幅因子 \(\sin(kx) = 0\) となる位置、すなわち：
$$kx = n\pi \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)$$ $$x = n \cdot \frac{\lambda}{2} = 0, \; \frac{\lambda}{2}, \; \lambda, \; \frac{3\lambda}{2}, \; \ldots$$(2) 腹の位置：
腹は \(|\sin(kx)| = 1\) となる位置、すなわち：
$$kx = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)$$ $$x = \frac{\lambda}{4}, \; \frac{3\lambda}{4}, \; \frac{5\lambda}{4}, \; \ldots$$腹は隣り合う節の中間にあり、節と同様に \(\lambda/2\) 間隔で並びます。
(3) 合成波の振幅：
定在波の式 \(y = 2A\sin(kx)\cos(\omega t)\) で、腹の位置（\(\sin(kx) = \pm 1\)）における最大変位は：
$$|y|_{\max} = 2A \cdot 1 \cdot 1 = 2A$$よって合成波の振幅は、元の各波の振幅 \(A\) の 2倍 です。
(4) 変位が最大になる最初の時刻：
時間因子 \(\cos(\omega t)\) が \(\pm 1\) のとき、腹での変位が最大になります。
$$\cos(\omega t) = \pm 1 \quad \Rightarrow \quad \omega t = n\pi \quad \Rightarrow \quad t = \frac{nT}{2} \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)$$\(t = 0\) で \(\cos(0) = 1\) なので、最初に変位が最大になるのは \(t = 0\) です。次に最大になるのは \(t = T/2\)（このとき \(\cos(\omega t) = -1\) で波形が反転）。すべての点で \(y = 0\) になるのは \(t = T/4\) です。
定在波 $y = 2A\sin(kx)\cos(\omega t)$ の時間変化：
$T/4$ ごとに「最大→フラット→最大（反転）→フラット→最大」を繰り返します。
定在波の節は $\lambda/2$ 間隔。腹の振幅は元の波の2倍。$T/4$ ごとに変位が最大⇔ゼロを繰り返す。節と節の間の媒質はすべて同位相で振動する。
振幅 3.0 cm、波長 6.0 cm、速さ 12 cm/s の2つの波が逆向きに進む場合を考えます。周期は 6.0 ÷ 12 = 0.50 s です。
周期：
$$T = \frac{\lambda}{v} = \frac{6.0}{12} = 0.50 \text{ s}$$節の間隔：
$$\frac{\lambda}{2} = \frac{6.0}{2} = 3.0 \text{ cm}$$腹での最大変位（合成波の振幅）：
$$2A = 2 \times 3.0 = 6.0 \text{ cm}$$すべての点で変位が 0 になる最初の時刻：
$$t = \frac{T}{4} = \frac{0.50}{4} = 0.125 \text{ s}$$