定在波の振動数・振幅・節と腹の間隔

与えられた情報：振幅 $A = 0.030$ m、波長 $\lambda = 0.12$ m の2つの正弦波が互いに逆向きに進み、定在波を生じる。振動数 $f = 256$ Hz。

(1) 定在波の振動数 $f_s$ と振幅 $A_s$：

振幅 $A$、波長 $\lambda$ の2つの正弦波 $y_1, y_2$ が逆向きに進むとき、和積公式で重ね合わせると：

$$y = y_1 + y_2 = A\sin(kx - \omega t) + A\sin(kx + \omega t) = 2A\sin(kx)\cos(\omega t)$$

この式で $\cos(\omega t)$ の角振動数は元の波と同じなので、定在波の振動数は：

$$f_s = f = 256 \text{ Hz}$$

振幅は $\sin(kx)$ の最大値が 1 なので、腹での最大変位は：

$$A_s = 2A = 2 \times 0.030 = 0.060 \text{ m}$$

(2) 節と節の間隔 $d$：

定在波 $2A\sin(kx)\cos(\omega t)$ で、節は $\sin(kx) = 0$ の位置です。波数を計算すると：

$$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0.12} \fallingdotseq 52.4 \text{ rad/m}$$

$\sin(kx) = 0$ の条件は $kx = n\pi$（$n = 0, 1, 2, \ldots$）なので、隣り合う節の間隔は：

$$d = \frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{2\pi / \lambda} = \frac{\lambda}{2} = \frac{0.12}{2} = 0.060 \text{ m}$$

検算：元の波の速さを求めると：

$$v = f\lambda = 256 \times 0.12 = 30.7 \text{ m/s}$$

補足：定在波の速さについて

定在波は「進まない波」なので波の速さという概念はありません。しかし、元の進行波の速さは次のように求まります。

$$v = f\lambda = 256 \times 0.12 = 30.7 \text{ m/s}$$

音波の定在波の場合、この速さは音速に対応します。