正弦波の自由端反射・固定端反射と定在波

問題設定：正弦波（振幅 $A$、波長 $\lambda = 4.0$ m、速さ $v = 2.0$ m/s）が x 軸上を正の向きに進み、端 AB（$x = L$）で反射する。

波の諸量の計算：

$$T = \frac{\lambda}{v} = \frac{4.0}{2.0} = 2.0 \text{ s}$$ $$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{4.0} = \frac{\pi}{2} \text{ rad/m}, \quad \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2.0} = \pi \text{ rad/s}$$

(1) 端 AB が自由端のとき：

入射波 $y_i = A\sin(kx - \omega t)$ に対し、自由端での反射波は同位相（位相反転なし）です：

$$y_r = A\sin(k(2L - x) - \omega t)$$

合成波は和積公式より定在波になります：

$$y = y_i + y_r = 2A\cos\!\big(k(x - L)\big)\sin(\omega t - kL)$$

端 AB（$x = L$）では $\cos(0) = 1$ なので振幅は $2A$（腹）です。

(2) 端 AB が固定端のとき：

固定端では反射波の位相が $\pi$ 反転します：

$$y_r = -A\sin(k(2L - x) - \omega t)$$

合成波は：

$$y = y_i + y_r = 2A\sin\!\big(k(x - L)\big)\cos(\omega t - kL)$$

端 AB（$x = L$）では $\sin(0) = 0$ なので振幅は 0（節）です。

節と腹の間隔：いずれの場合も隣り合う節の間隔は：

$$d = \frac{\lambda}{2} = \frac{4.0}{2} = 2.0 \text{ m}$$

補足：反射波の式の導出

自由端（端 $x = L$）：端での変位が最大。

$$y_r = A\sin(-k(x - L) + k L - \omega t) = A\sin(k(2L - x) - \omega t)$$

固定端（端 $x = L$）：端での変位がゼロ。

$$y_r = -A\sin(k(2L - x) - \omega t)$$

いずれの場合も入射波と反射波の合成は定在波になります。