縦波の横波表示と密・疎の判定

(1) 最も密な点：

縦波の変位 $y(x)$ に対して、密度変化は $-\partial y / \partial x$ に比例します。横波表示で $y = 0$ かつ傾きが負（右下がり）の位置が「密」です。

横波表示が $y = A\sin(kx)$ のとき、$\dfrac{\partial y}{\partial x} = Ak\cos(kx)$ なので、$\cos(kx) < 0$ かつ $\sin(kx) = 0$ の点が密：

$$kx = \pi,\; 3\pi,\; 5\pi,\; \ldots \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\lambda}{2},\; \frac{3\lambda}{2},\; \ldots$$

(2) 最も疎な点：

$y = 0$ かつ傾きが正（右上がり）の位置が「疎」です：

$$kx = 0,\; 2\pi,\; 4\pi,\; \ldots \quad \Rightarrow \quad x = 0,\; \lambda,\; 2\lambda,\; \ldots$$

(3) 振動の速度が 0 の点：

速度は $v_y = \partial y / \partial t = -A\omega\cos(kx - \omega t)$ です。$v_y = 0$ は $\cos = 0$ のとき、すなわち変位が最大（$y = \pm A$）の山と谷の位置です：

$$|y| = A \quad \Rightarrow \quad v_y = 0$$

(4) 振動の速度が左向きに最大の点：

波が正方向に進むので「ちょいずらし」して確認。変位 \(y\) がこれから減少する位置（\(y = 0\) で右下がり → 密の位置）の媒質は左向きに速度最大です。

補足：波の干渉条件

2つの波源からの経路差 $\Delta r$ と干渉条件：

$$\text{強め合い：} \Delta r = n\lambda \quad (n = 0, 1, 2, \ldots)$$ $$\text{弱め合い：} \Delta r = \left(n + \frac{1}{2}\right)\lambda$$

🧮 数値計算で確認

振動数 440 Hz、波長 0.773 m の縦波（音波）を考えます。速さは 440 × 0.773 = 340 m/s です。

波の速さ：

$$v = f\lambda = 440 \times 0.773 = 340 \text{ m/s}$$

振幅 \(A = 0.020\) mm のとき、媒質の最大速度：

$$|v_y|_{\max} = A\omega = A \times 2\pi f = 0.020 \times 10^{-3} \times 2\pi \times 440 = 0.0553 \text{ m/s}$$

密と疎の間隔は半波長：

$$\frac{\lambda}{2} = \frac{0.773}{2} = 0.387 \text{ m}$$