直感的理解

定在波は「進まない波」。2つの波が逆方向に進むと、ある点は常に大きく振動し（腹）、ある点は全く動かない（節）。腹と節は $\lambda/4$ 間隔で交互に並びます。再生ボタンで波 a, b の重ね合わせを見ると、合成波が進行せず「その場で振動」する様子がわかります。

(1) 合成波形：$t = 0$ で波 a（実線）と波 b（破線）を重ね合わせます。

重ね合わせの原理より、各 $x$ での合成変位は $y = y_a + y_b$ です。

答え： $t = 0$ の合成波形は上図の太線の通り（グラフ参照）

Point

重ね合わせの原理：各点で2つの波の変位を足し合わせる。定在波の合成波形は時刻によって大きく形が変わる。

直感的理解

定在波の腹は、2つの波が常に強め合う位置です。腹と腹の間隔は $\lambda/2$、腹と節の間隔は $\lambda/4$ です。

波長：図より $\lambda = 4.0$ cm

腹の間隔：$\lambda / 2 = 2.0$ cm

腹の位置：合成波形で変位の絶対値が最大になる位置を探すと、

$$x = 1.5 \text{ cm},\quad 3.5 \text{ cm}$$

答え：
$$x = 1.5 \text{ cm},\quad 3.5 \text{ cm}$$

Point

定在波の腹の間隔 = $\lambda/2$、節の間隔 = $\lambda/2$。腹と節は $\lambda/4$ 間隔で交互に並ぶ。

直感的理解

定在波の腹の変位が最大になるのは、2つの進行波がちょうど山と山（または谷と谷）が重なる瞬間です。これは $T/4$ ごと、または波が $\lambda/4$ だけ進む時間ごとに起こります。

周期：$T = \lambda / v = 4.0 / 2.0 = 2.0$ s

$t = 0$ の状態から、波 a が $\lambda/8$ 進み、波 b も $\lambda/8$ 逆向きに進むと、山と山（谷と谷）が重なります。これに要する時間は：

$$t = \frac{\lambda / 8}{v} = \frac{4.0 / 8}{2.0} = \frac{1}{8}T = \frac{1}{8} \times 2.0 = 0.25 \text{ s}$$

答え：
$$t = 0.25 \text{ s}$$

補足：定在波の数式的表現

2つの進行波 $y_a = A\sin(kx - \omega t)$ と $y_b = A\sin(kx + \omega t)$ の合成は：

$$y = y_a + y_b = 2A\sin kx \cos\omega t$$

これが定在波の式です。$\sin kx$ が空間的な振幅分布（節と腹の位置）、$\cos\omega t$ が時間変化を表します。

腹の変位が最大になるのは $\cos\omega t = \pm 1$、すなわち $t = 0, T/2, T, \ldots$ のときです。ただし今回は $t = 0$ で波 a, b の位相関係により最大ではないので、次に最大になる時刻を求めます。

Point

定在波の式 $y = 2A\sin kx \cos\omega t$ で、$\cos\omega t = \pm 1$ のとき腹の変位が最大（振幅 $2A$）になる。

基本例題52 定在波（定常波）