直感的理解

正弦波の式を作るには、まず原点の振動の式を作り、それを空間に拡張します。初期条件「$t = 0$ で $y = 0$、負の向きに振動開始」は $-\sin$ 型を意味します。同位相反射による反射波が加わると定在波になります。

パラメータ：

(1)(2) グラフの描画：

$t = 0$ で $y = 0$ かつ $y$ 軸負方向に動くので、原点の式は：

$t = 0$ の波形（$y$-$x$ 図）：正の向きに進む波なので

$t = 0$ を代入：$y = -0.10\sin\!\left(-\frac{2\pi x}{0.72}\right) = 0.10\sin\frac{2\pi x}{0.72}$

$t = 1.50$ s の波形：式に $t = 1.50$ を代入して描画。

(3) 原点の変位の式：

原点 $x = 0$ の振動を考えます。$t = 0$ で $y = 0$ かつ $y$ 軸負方向に動き始めるので、$-\sin$ 型です。角振動数は：

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.20} = 10\pi \text{ [rad/s]}$$

よって原点の変位の式は：

$$y_0 = -A\sin\omega t = -0.10\sin 10\pi t$$

(4) 任意の位置の式：

正の $x$ 方向に速さ $v = 3.6$ m/s で進む正弦波なので、波数 $k$ は：

$$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0.72} \text{ [rad/m]}$$

一般の点 $x$ の変位は、原点の振動を $x/v$ だけ遅らせた形です：

$$y = -0.10\sin\!\left(\omega t - kx\right) = -0.10\sin 2\pi\!\left(\frac{t}{0.20} - \frac{x}{0.72}\right)$$

答え(1)(2)： 上のシミュレーション参照。$t = 0$ と $t = 1.50$ s の波形はそれぞれ $\sin$ 関数を $\lambda = 0.72$ m の周期でプロット。

答え(3)：
$$y_0 = -0.10\sin 10\pi t$$

答え(4)：
$$y = -0.10\sin 2\pi\!\left(\frac{t}{0.20} - \frac{x}{0.72}\right) = -0.10\sin\!\left(10\pi t - \frac{2\pi x}{0.72}\right)$$

補足：同位相反射と定在波

同位相反射（自由端反射）では、反射波は入射波と同じ位相で反射します。反射点は定在波の腹になります。

入射波と反射波の合成：

$$y_{\text{入}} + y_{\text{反}} = 2A\cos\!\left(\frac{2\pi(x-L)}{\lambda}\right)\sin\!\left(\frac{2\pi t}{T}\right)$$

これが定在波の式です。節の間隔は $\lambda/2 = 0.36$ m、$0 \le x \le 1.80$ m の範囲で節が 5 か所あります。

Point

初期条件「$t = 0$ で $y = 0$、負の向きに動く」→ $-\sin$ 型。正弦波の式 $y = A\sin\!\left(\omega t - kx + \phi_0\right)$ で $\phi_0$ を調整。同位相反射の反射点は腹。

応用問題286 正弦波の式と定在波（定常波）