正弦波の式の読み取り

原点の媒質の時刻 \(t\) [s] における変位 \(y\) [m] が

と表されるとき、振幅 \(A\) [m] と角振動数 \(\omega\) [rad/s] を求めよ。

また、位置 \(x\) [m] の媒質の、時刻 \(t\) [s] における変位 \(y\) [m] が

と表されるとき、波長 \(\lambda\) [m]、周期 \(T\) [s]、波の速さ \(v\) [m/s] を求めよ。

①式から：

原点の変位が $y = 1.5\sin 4\pi t$ と表されるとします。標準形 $y = A\sin\omega t$ と比較します。

振幅は $\sin$ の前の係数なので：

$$A = 1.5 \text{ m}$$

角振動数は $\sin$ の中の $t$ の係数なので：

$$\omega = 4\pi \text{ rad/s}$$

周期を求めます：

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4\pi} = 0.50 \text{ s}$$

振動数は：

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.50} = 2.0 \text{ Hz}$$

②式の標準形との比較：

位置 $x$ における変位が $y = 1.5\sin 2\pi\!\left(\dfrac{t}{0.50} - \dfrac{x}{6.0}\right)$ と表されるとき、標準形 $y = A\sin 2\pi\!\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)$ と比較すると：

• $\dfrac{t}{T}$ の部分から：$T = 0.50$ s
• $\dfrac{x}{\lambda}$ の部分から：$\lambda = 6.0$ m

速さを計算します：

$$v = \frac{\lambda}{T} = \frac{6.0}{0.50} = 12 \text{ m/s}$$

検算：$v = f\lambda$ でも確認します。

$$v = f\lambda = 2.0 \times 6.0 = 12 \text{ m/s} \quad \checkmark$$

補足：角振動数と振動数・周期の関係

角振動数 \(\omega\)、振動数 \(f\)、周期 \(T\) の関係：

$$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$

角振動数はラジアン毎秒で測った振動の速さです。\(f = 1/T\) なので3つの量はどれか1つがわかれば他も決まります。