正弦波の式の立式

\(x\) 軸上を正の向きに進む正弦波がある。原点の変位 \(y\) [m] は \(y = 2.0\cos 8.0\pi t\) で表される。波の速さが 6.0 m/s のとき、位置 \(x\) [m] における変位 \(y\) [m] を \(t\) と \(x\) の式で表せ。

原点の振動から波の諸量を求める：

$y = 2.0\cos 8.0\pi t$ と標準形 $y = A\cos\omega t$ を比較します。

振幅：

$$A = 2.0 \text{ m}$$

角振動数から振動数と周期を求めます：

$$\omega = 8.0\pi \text{ rad/s}$$ $$f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{8.0\pi}{2\pi} = 4.0 \text{ Hz}$$ $$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{4.0} = 0.25 \text{ s}$$

波長は $v = f\lambda$ より：

$$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{6.0}{4.0} = 1.5 \text{ m}$$

波の式の立式：

$x$ 軸正方向に進む波では、位置 $x$ の媒質は原点より $x/v$ だけ遅れて振動します。原点の式で $t \to t - x/v$ と置き換えます：

$$y = 2.0\cos\!\left[8.0\pi\!\left(t - \frac{x}{6.0}\right)\right]$$

標準形で書くと波数は $k = \omega / v$ です：

$$k = \frac{\omega}{v} = \frac{8.0\pi}{6.0} = \frac{4\pi}{3} \text{ rad/m}$$ $$y = 2.0\cos\!\left(8.0\pi t - \frac{4\pi}{3}x\right) \text{ [m]}$$

別解：sin を用いた表現

\(\cos\theta = \sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)\) を使うと：

$$y = 2.0\sin\!\left[8.0\pi\!\left(t - \frac{x}{6.0}\right) + \frac{\pi}{2}\right]$$

初期位相 \(\pi/2\) を含む \(\sin\) 型で表すこともできます。