直感的理解

$t = 0$ で原点の変位が 0 で、正方向に動こうとしているとは、$\sin$ 関数の引数が 0 のタイミングに対応します。$x$ 軸正方向に進む波なので $y = A\sin 2\pi(t/T - x/\lambda)$ がそのまま使えます。

$x$ 軸上を正の向きに進む正弦波がある。振幅 6 mm、波長 6 cm、波の速さ 2 m/s である。$t = 0$ のときのグラフが下図のように原点で $y = 0$ で正方向に変位しようとしているとき、位置 $x$ [m] における時刻 $t$ [s] の変位 $y$ [m] を式で表せ。

波の諸量の整理：

周期の計算：

$$T = \frac{\lambda}{v} = \frac{6.0 \times 10^{-2}}{2.0} = 3.0 \times 10^{-2} \text{ s} = 0.030 \text{ s}$$

正弦波の一般式：

$x$ 軸正方向に進む正弦波の一般式は次の通りです：

$$y = A \sin 2\pi\!\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)$$

初期条件の確認：

$t = 0$, $x = 0$ を代入すると：

$$y(0, 0) = A \sin 2\pi\!\left(\frac{0}{T} - \frac{0}{\lambda}\right) = A \sin 0 = 0 \quad \checkmark$$

また、$t = 0$ で原点の変位が正方向に増加する条件も確認します：

$$\frac{\partial y}{\partial t}\bigg|_{t=0,\,x=0} = A \cdot \frac{2\pi}{T} \cos 0 = \frac{2\pi A}{T} > 0 \quad \checkmark$$

初期位相は 0 でよいことが分かりました。

数値を代入：

$A = 6.0 \times 10^{-3}$ m、$T = 0.030$ s、$\lambda = 0.060$ m を代入して：

答え：
$$y = 6.0 \times 10^{-3} \sin 2\pi\!\left(\frac{t}{0.030} - \frac{x}{0.060}\right) \text{ [m]}$$

補足：$\omega$ と $k$ を使った表現

角振動数 $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{0.030} \fallingdotseq 209$ rad/s

波数 $k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{2\pi}{0.060} \fallingdotseq 105$ rad/m

したがって $y = 6.0 \times 10^{-3} \sin(\omega t - kx)$ とも書けます。

Point

$t = 0$ で原点の変位が 0 で正方向に動くなら初期位相は 0。$y = A\sin 2\pi(t/T - x/\lambda)$ がそのまま使える。負方向に動く場合は $-A\sin$ になる。

基本問題283 正弦波の式