基本例題53 正弦波の式

設問(1)　波の要素

直感的理解
正弦波の式 \(y = A\sin 2\pi\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right)\) の各パラメータは波の性質に直結します。\(A\) は波の高さ、\(T\) は1往復の時間、\(\lambda\) は山同士の距離、\(v = \lambda/T\) は波が進む速さです。式の中の「\(-x\)」は正方向に進む波であることを意味します。

式の変形：

標準形 \(y = A\sin 2\pi\!\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\) と比較して：

答え：
$$A = 1.0 \text{ m},\; T = 0.040 \text{ s},\; \lambda = 0.40 \text{ m},\; f = 25 \text{ Hz},\; v = 10 \text{ m/s}$$ 進む向きは \(x\) 軸の正の向き
Point

正弦波の式は \(y = A\sin 2\pi\!\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\) または \(y = A\sin\dfrac{2\pi}{T}\!\left(t - \dfrac{x}{v}\right)\)。\(t\) と \(x\) の係数を比較して波の要素を読み取る。

設問(2)　原点の変位の式

直感的理解
原点とは \(x = 0\) の位置のこと。波の式に \(x = 0\) を代入すれば、原点の媒質の時間変化が得られます。

①式に \(x = 0\) を代入：

$$y = 1.0\sin 50\pi\!\left(t - \frac{0}{10}\right) = 1.0\sin 50\pi t$$
答え：
$$y = 1.0\sin 50\pi t$$
Point

\(x = 0\) を代入すれば原点の振動の式が得られる。角振動数 \(\omega = 50\pi\) rad/s の単振動。

設問(3)　\(t = 1.0\) s, \(x = 5.0\) m の変位

直感的理解
式に具体的な数値を代入するだけです。\(\sin\) の引数が \(\pi\) の整数倍になるかどうかに注意しましょう。

①式に \(t = 1.0\), \(x = 5.0\) を代入：

$$y = 1.0\sin 50\pi\!\left(1.0 - \frac{5.0}{10}\right) = 1.0\sin 50\pi \times 0.5 = 1.0\sin 25\pi$$

\(m\) を整数とすると \(\sin m\pi = 0\) なので：

$$y = 1.0 \times 0 = 0 \text{ m}$$
答え：
$$y = 0 \text{ m}$$
補足：sin mπ = 0 の確認

\(\sin 25\pi = \sin(25 \times 180°) = \sin(4500°)\)

\(4500° = 12 \times 360° + 180°\) なので \(\sin 4500° = \sin 180° = 0\)

一般に、\(\sin m\pi = 0\)（\(m\) は整数）です。

Point

\(\sin\) の引数が \(\pi\) の整数倍 → 変位 0。\(\pi/2\) の奇数倍 → 変位が最大（\(\pm A\)）。