基本例題54 正弦波の式

設問(1)　原点の振動の式

直感的理解
\(y\)-\(t\) 図は原点の媒質の「振動記録」です。\(t = 0\) で \(y = 0\) から始まり正方向に動くので、\(\sin\) 関数がそのまま使えます。振幅と周期を読み取れば式の完成です。

読み取り：図より

原点の振動の式：

答え：
$$y = 0.20\sin 4.0\pi t$$
Point

\(y\)-\(t\) 図の読み取り：\(t = 0\) の変位と直後の運動方向から \(\sin\) か \(\cos\) かを決める。

設問(2)　一般の位置 \(x\) の波の式

直感的理解
位置 \(x\) の媒質は、原点の振動が \(x/v\) 秒遅れて伝わったものです。だから原点の式の \(t\) を \(t - x/v\) に置き換えればよい。これが波の式の「空間への拡張」の本質です。

考え方：波は速さ \(v = 40\) m/s で \(x\) 軸正方向に進むので、座標 \(x\) の媒質は原点の振動が \(\dfrac{x}{v} = \dfrac{x}{40}\) [s] だけ遅れて伝わったものです。

原点の式 \(y = 0.20\sin 4.0\pi t\) の \(t\) を \(t - \dfrac{x}{40}\) に置き換えると：

答え：
$$y = 0.20\sin 4.0\pi\!\left(t - \frac{x}{40}\right)$$
別解：標準形からの導出

波長 \(\lambda = vT = 40 \times 0.50 = 20\) m なので、標準形：

$$y = A\sin 2\pi\!\left(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda}\right) = 0.20\sin 2\pi\!\left(\frac{t}{0.50} - \frac{x}{20}\right) = 0.20\sin 2\pi\!\left(2t - \frac{x}{20}\right)$$ $$= 0.20\sin\!\left(4\pi t - \frac{\pi x}{10}\right) = 0.20\sin 4\pi\!\left(t - \frac{x}{40}\right)$$

同じ結果が得られます。

Point

正の向きに進む正弦波の式：\(y = A\sin\dfrac{2\pi}{T}\!\left(t - \dfrac{x}{v}\right)\)。原点の振動式の \(t\) を \(t - x/v\) に置き換えるだけ。