屈折と波面の関係

(1) 波長の関係：

波面の山の間隔 \(d\) が波長に等しいので：

$$\lambda_1 = d$$

境界面上での山の間隔を \(D\) とすると、幾何学的に \(D = \lambda_1 / \sin\theta_1 = \lambda_2 / \sin\theta_2\) が成り立ちます。\(\lambda_1 = d\) を代入すると：

$$D = \frac{d}{\sin\theta_1} = \frac{\lambda_2}{\sin\theta_2}$$

よって媒質2の波長は：

$$\lambda_2 = d \cdot \frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}$$

(2) 点Aに単位時間に届く波の数：

単位時間に点Aを通過する波の数は、媒質1中の振動数 \(f_1\) に等しくなります。\(v_1 = f_1\lambda_1\) より：

$$N_1 = f_1 = \frac{v_1}{\lambda_1} = \frac{v_1}{d}$$

(3) 速さの関係：

境界面で振動数が連続（\(f_1 = f_2\)）なので：

$$\frac{v_1}{\lambda_1} = \frac{v_2}{\lambda_2}$$

(1)の結果 \(\lambda_1 = d\)、\(\lambda_2 = d\sin\theta_2/\sin\theta_1\) を代入すると：

$$\frac{v_1}{d} = \frac{v_2}{d \cdot \dfrac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}} \quad \Rightarrow \quad \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2}$$

これが屈折の法則（スネルの法則）です。

補足：ホイヘンスの原理からの導出

境界面上の点Aに波面が到達してから時間 \(\Delta t\) 後、媒質1側では距離 \(v_1 \Delta t\)、媒質2側では距離 \(v_2 \Delta t\) だけ素元波が広がります。幾何学的関係から：

$$\sin\theta_1 = \frac{v_1 \Delta t}{D}, \quad \sin\theta_2 = \frac{v_2 \Delta t}{D}$$

辺々割ると \(\dfrac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \dfrac{v_1}{v_2}\) が得られます。