水面波の干渉と位相差

(1) 波長の決定：

図の破線は「最も振動が大きくなる点」（腹線、強めあいの線）です。同位相の2波源による強めあいの条件は：

$$|r_1 - r_2| = m\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \ldots)$$

AB の中点（経路差 0）は \(m = 0\) の腹線です。AB 間の距離 6.0 m に対して腹線は \(m = 0, \pm1, \pm2, \pm3\) の7本が観察されます。\(m = 3\) の腹線がAB の近くにあるためには、経路差の最大値（= AB の距離 = 6.0 m）が \(3\lambda\) 以上かつ \(4\lambda\) 未満であるので：

$$3\lambda \leq 6.0 < 4\lambda \quad \Rightarrow \quad \lambda = 2.0 \text{ m}$$

(2) 振動数：

\(v = f\lambda\) より：

$$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{1.0}{2.0} = 0.50 \text{ Hz}$$

(3) 位相差 \(T/8\) の場合：

Bの振動が \(T/8\) だけ遅れるので、位相差は：

$$\Delta\phi = 2\pi \times \frac{1}{8} = \frac{\pi}{4}$$

強めあいの条件は、経路差による位相差と初期位相差の合計が \(2m\pi\) になることです：

$$\frac{2\pi}{\lambda}(r_1 - r_2) + \Delta\phi = 2m\pi$$ $$r_1 - r_2 = m\lambda - \frac{\Delta\phi}{2\pi}\lambda = m\lambda - \frac{\lambda}{8}$$

同位相のときの経路差 \(m\lambda\) に比べ、すべての腹線が \(\lambda/8\) だけ波源B側にずれます。

(4) 点Pの移動：

AB の中点 P（\(m = 0\) の腹線上の点）は、(3)の結果から B 側（\(x\) 軸正方向）に移動します。移動量は：

$$\Delta x = \frac{\lambda}{8} = \frac{2.0}{8} = 0.25 \text{ m}$$

よって点PはB側に 0.25 m 移動します。

補足：位相差と腹線のシフトの一般公式

波源Bが波源Aより \(\Delta\phi\) だけ位相が遅れているとき、強めあいの条件は：

$$r_1 - r_2 = m\lambda - \frac{\Delta\phi}{2\pi}\lambda$$

腹線全体が \(\dfrac{\Delta\phi}{2\pi}\lambda\) だけB側にシフトします。\(\Delta\phi = \pi\)（逆位相）のとき、腹線と節線が入れ替わります。