基本問題287 水面波の干渉

水面波の干渉（強めあい・弱めあいの判定）

直感的理解
2つの同位相の波源から出た波は、ある点で重なるとき「経路差」（2つの波源からの距離の差）によって状態が決まります。経路差が波長の整数倍なら山と山（谷と谷）が重なり強めあい、半整数倍なら山と谷が重なり弱めあいます。

水面上の2点 A, B から、いずれも波長 4 cm の波が同位相で出ている。振幅はともに等しい。次の点 P, Q はそれぞれ強めあうか弱めあうか。

干渉条件（同位相の2波源）：

(1) 点 P の経路差：

$$|l_A - l_B| = |3.0 - 5.0| = 2.0 \text{ cm}$$ $$\frac{2.0}{\lambda} = \frac{2.0}{4.0} = 0.5 = \frac{1}{2}$$

半整数（\(m + 1/2\) の形、\(m = 0\)）なので、点 P では弱めあう。

(2) 点 Q の経路差：

$$|l_A - l_B| = |4.0 - 8.0| = 4.0 \text{ cm}$$ $$\frac{4.0}{\lambda} = \frac{4.0}{4.0} = 1$$

整数（\(m = 1\)）なので、点 Q では強めあう。

答え：
(1) 点 P：経路差 2.0 cm \(= \dfrac{1}{2}\lambda\) → 弱めあう
(2) 点 Q：経路差 4.0 cm \(= 1\lambda\) → 強めあう
補足：干渉条件の導出

同位相の2波源 A, B からの波を点 P で重ね合わせると：

$$y_A = A\sin\left(\omega t - \frac{2\pi l_A}{\lambda}\right), \quad y_B = A\sin\left(\omega t - \frac{2\pi l_B}{\lambda}\right)$$

合成波の振幅は位相差 \(\Delta\phi = \dfrac{2\pi}{\lambda}|l_A - l_B|\) に依存します。

  • \(\Delta\phi = 2m\pi\)（経路差 \(= m\lambda\)）→ 同位相で合成振幅 2A（強めあい）
  • \(\Delta\phi = (2m+1)\pi\)（経路差 \(= (m+1/2)\lambda\)）→ 逆位相で合成振幅 0（弱めあい）
Point

同位相の2波源の干渉判定：経路差を波長で割り、整数 → 強めあい、半整数 → 弱めあい。まず経路差 \(= |l_A - l_B|\) を計算し、\(\lambda\) で割るのが最初のステップ。