水面波の干渉（腹線・節線の本数）

水面上に 7.0 cm 離れた2点 A, B が同位相で振幅の等しい波長 2.8 cm の波を出している。

• (1) 線分 AB の垂直二等分線上の点は強めあうか弱めあうか
• (2) 2つの波源の間にできる節線の本数を求めよ
• (3) A, B を結ぶ線分上で弱めあう点は何か所あるか
• (4) 点 S は山か谷か、それとも振動しないか
• (5) A, B の距離が 5.6 cm のとき、線分 AB 上の腹の数を求めよ

(1) 垂直二等分線上の点：

垂直二等分線上の任意の点 P では、A, B からの距離が等しいため：

$$|l_A - l_B| = 0 = 0 \cdot \lambda$$

同位相の波源で経路差が \(m\lambda\)（\(m = 0\)）なので強めあう（腹線上の点）。

(2) 節線の本数：

同位相の波源からの波が弱めあう条件（節線の条件）：

$$|l_A - l_B| = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda \quad (m = 0, 1, 2, \ldots)$$

各 \(m\) に対して経路差を計算します（\(\lambda = 2.8\) cm）：

$$m = 0:\quad |l_A - l_B| = \frac{1}{2} \times 2.8 = 1.4 \text{ cm}$$ $$m = 1:\quad |l_A - l_B| = \frac{3}{2} \times 2.8 = 4.2 \text{ cm}$$ $$m = 2:\quad |l_A - l_B| = \frac{5}{2} \times 2.8 = 7.0 \text{ cm}$$

経路差の最大値は波源間距離 \(d = 7.0\) cm です。\(m = 2\) のとき経路差が \(d\) とちょうど等しく、これは A, B の延長線上に相当するため節線としては現れません。

したがって \(m = 0, 1\) の 2 組で、それぞれ左右対称に 2 本ずつ → 合計 4 本。

(3) 線分 AB 上の弱めあいの点：

線分 AB 上の点 P では \(l_A + l_B = d = 7.0\) cm が成り立ちます。弱めあう条件と連立すると：

$$\begin{cases} l_A + l_B = 7.0 \\ |l_A - l_B| = 1.4 \text{ または } 4.2 \end{cases}$$

各経路差に対し、線分上に A 寄りと B 寄りの 2 点ずつ存在するため、合計 4 か所。

(5) \(d = 5.6\) cm のとき：

節線の条件 \((m + 1/2)\lambda \le d\) を確認します：

$$\left(m + \frac{1}{2}\right) \times 2.8 \le 5.6 \quad \Rightarrow \quad m + \frac{1}{2} \le 2 \quad \Rightarrow \quad m \le 1.5$$

\(m = 0, 1\) の 2 組で節線は 4 本。腹線の条件 \(|l_A - l_B| = m\lambda\) では \(m = 0, 1, 2\) が可能なので腹は 5 か所です。

補足：腹線と節線の本数の数え方

線分 AB 上の腹（強めあい）の数 = 節（弱めあい）の数 + 1（一般に）。

腹の条件 \(|l_A - l_B| = m\lambda\)：

• \(m = 0\)：中点（1 か所）
• \(m = 1\)：\(|l_A - l_B| = 2.8\) cm → 2 か所
• \(m = 2\)：\(|l_A - l_B| = 5.6\) cm → 2 か所（\(d = 7.0\) の場合）

合計 5 か所の腹があります。