媒質 1 と媒質 2 の境界面に平面波が入射した。媒質 1 での波の速さは \(v_1\)、媒質 2 での速さは \(v_2\) で、屈折率は \(n_{12} = v_1/v_2\) である。入射角 \(\theta_1\) と屈折角 \(\theta_2\) の関係、および各媒質での波長の関係を求めよ。
屈折の法則（スネルの法則）：
$$\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2} = n_{12}$$ここで \(n_{12}\) は媒質 1 に対する媒質 2 の相対屈折率です。
波長の関係：
振動数 \(f\) は媒質を通過しても変わらないので、\(v = f\lambda\) より：
$$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{v_1}{v_2} = n_{12}$$具体例：
\(v_1 = 4.0\) m/s、\(v_2 = 2.0\) m/s の場合、相対屈折率は：
$$n_{12} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{4.0}{2.0} = 2.0$$入射角 \(\theta_1 = 45°\) のとき：
$$\sin\theta_2 = \frac{\sin\theta_1}{n_{12}} = \frac{\sin 45°}{2.0} = \frac{\sqrt{2}/2}{2.0} = \frac{\sqrt{2}}{4} \fallingdotseq 0.354$$ $$\therefore \quad \theta_2 \fallingdotseq 20.7°$$波長の比：\(\lambda_2 = \lambda_1 / n_{12} = \lambda_1 / 2\)（媒質 2 では波長が半分になる）。
波面が境界面に斜めに到達するとき、媒質 1 側の端がまだ進んでいる間に、媒質 2 側に入った端は遅い速さで新しい波面を作ります。
境界面上の距離を \(AB\) とすると：
$$AB\sin\theta_1 = v_1 \Delta t, \quad AB\sin\theta_2 = v_2 \Delta t$$辺々割ると \(\dfrac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \dfrac{v_1}{v_2}\) が得られます。
遅い媒質（\(v_2 < v_1\)）から速い媒質に入射する場合、入射角がある値（臨界角 \(\theta_c\)）以上になると屈折波が存在せず、全反射が起きます。
$$\sin\theta_c = \frac{v_2}{v_1} = \frac{1}{n_{12}}$$屈折の法則 \(\dfrac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \dfrac{v_1}{v_2}\)。振動数は変わらず、速さと波長の比は等しい：\(\dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}\)。速い媒質→遅い媒質で法線に近づく。