応用問題311 音の干渉

設問(1) 同位相か逆位相か

直感的理解
点OはA, Bから等距離なので経路差は0です。同位相の波源なら経路差0で強めあい(極大)、逆位相なら弱めあい(極小)になります。Oが極大なので、2つの音源は同位相です。

点Oは $\text{AB}$ の中点の真上にあり、$\text{AO} = \text{BO}$(経路差 $= 0$)。

経路差0で極大(強めあい)になるので、A, Bの振動は同位相

答え:同位相
Point

等距離点(経路差0)が極大 → 同位相。極小 → 逆位相

設問(2) 波長と音の速さ

直感的理解
OからPに移動すると、Aからの距離とBからの距離の差が変わります。Pで初めて極小になるので、Pでの経路差は $\dfrac{\lambda}{2}$ です。AP と BP を三平方の定理で求めて経路差を出しましょう。

APの距離:Pは直線XY上で、Oから $1.5$ m の位置。A の真上からの水平距離は $1.5 + 1.5 = 3.0$ m(Aは中心から左に $1.5$ m)。

$$\text{AP} = \sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = \sqrt{9.0 + 16.0} = 5.0 \text{ m}$$

BPの距離:PはBの真上にある(Bは中心から右に $1.5$ m、PもOから右に $1.5$ m)。

$$\text{BP} = 4.0 \text{ m}$$

経路差:

$$|\text{AP} - \text{BP}| = |5.0 - 4.0| = 1.0 \text{ m}$$

Oから初めての極小なので、経路差 $= \dfrac{\lambda}{2}$:

$$\frac{\lambda}{2} = 1.0 \quad \therefore \lambda = 2.0 \text{ m}$$

音の速さ:

$$V = f\lambda = 1.7 \times 10^2 \times 2.0 = 3.4 \times 10^2 \text{ m/s}$$
答え:
$$\lambda = 2.0 \text{ m}, \quad V = 3.4 \times 10^2 \text{ m/s}$$
Point

等距離点から最初の極小までの経路差 $= \dfrac{\lambda}{2}$。三平方の定理で距離を正確に求めること。

設問(3) 次に極小になる振動数

直感的理解
振動数を上げると波長が短くなります。経路差 $= 1.0$ m は変わらないので、「$1.0 = \dfrac{3}{2}\lambda'$」を満たすとき次の極小になります。

設定:Pでの経路差は $1.0$ m で固定。振動数を上げると $\lambda$ が小さくなる。次の極小条件は

$$|\text{AP} - \text{BP}| = \frac{3}{2}\lambda'$$ $$1.0 = \frac{3}{2}\lambda' \quad \therefore \lambda' = \frac{2}{3} \text{ m}$$ $$f' = \frac{V}{\lambda'} = \frac{340}{2/3} = 340 \times \frac{3}{2} = 510 \text{ Hz} \fallingdotseq 5.1 \times 10^2 \text{ Hz}$$
答え:
$$f' = 5.1 \times 10^2 \text{ Hz}$$
補足:振動数をさらに上げたとき何が起こるか

経路差 $\Delta = 1.0$ m は固定なので、振動数を上げる($\lambda$ を短くする)ほど、$\Delta / \lambda$ の値が増えていきます。

  • $\Delta = \frac{1}{2}\lambda$($m = 0$):$\lambda = 2.0$ m、$f = 170$ Hz → 極小(現在)
  • $\Delta = \lambda$($m = 0$):$\lambda = 1.0$ m、$f = 340$ Hz → 極大
  • $\Delta = \frac{3}{2}\lambda$($m = 1$):$\lambda = 2/3$ m、$f = 510$ Hz → 極小(設問の答え)
  • $\Delta = 2\lambda$($m = 1$):$\lambda = 0.50$ m、$f = 680$ Hz → 極大

振動数を上げていくと、Pでは極大と極小が交互に現れます。

Point

弱めあいの条件:経路差 $= (m + \frac{1}{2})\lambda$。$m = 0$ が現状なら、次は $m = 1$(経路差 $= \frac{3}{2}\lambda'$)。振動数を変えても経路差は変わらない。