応用問題312 弦の振動とうなり

設問(1)　音源の振動数

直感的理解
クインケ管ではC部を引き出すと、下側の経路が伸びます。引き出し量 $d$ に対して経路差は $2d$ 増えます（行きと帰りの両方が伸びるため）。$2d = \dfrac{\lambda}{2}$、つまり $d = 9.00$ cm のとき $\lambda = 2 \times 2 \times 9.00 = 36.0$ cm。

設定：$9.00$ cm 引き出すごとに弱めあいが起こる。音の速さ $V = 342$ m/s。

経路差の計算：C部を $d = 9.00$ cm 引き出すと、下側の経路が行きと帰りの両方で伸びるため、経路差は $2d$ 変化します：

$$\text{経路差の変化} = 2d = 2 \times 9.00 = 18.0 \text{ cm}$$

隣り合う弱めあいの間で経路差が $\lambda/2$ 変化するので：

$$\frac{\lambda}{2} = 2d = 18.0 \text{ cm}$$ $$\lambda = 4d = 4 \times 9.00 = 36.0 \text{ cm} = 0.360 \text{ m}$$

振動数：

$$f = \frac{V}{\lambda} = \frac{342}{0.360} = 950 \text{ Hz}$$
答え：
$\lambda = 36.0$ cm、音源の振動数 $f = 950$ Hz
Point

クインケ管：引き出し量 $d$ に対し経路差は $2d$ 変化。隣り合う極小の間隔で $\dfrac{\lambda}{2} = 2d$、つまり $\lambda = 4d$。

設問(2)　温度上昇後の音の速さ

直感的理解
温度が上がると音の速さが大きくなり、波長も長くなります（$\lambda = V/f$ で $f$ は音源固定）。引き出し間隔が $9.50$ cm に広がったということは、波長が長くなったことを意味します。

設定：温度上昇後、$d' = 9.50$ cm ごとに弱めあいが起こる。

$$\lambda' = 4d' = 4 \times 9.50 = 38.0 \text{ cm} = 0.380 \text{ m}$$

振動数は音源が同じなので $f = 950$ Hz のまま。

$$V' = f\lambda' = 950 \times 0.380 = 361 \text{ m/s}$$

音の速さの変化：

$$\Delta V = V' - V = 361 - 342 = 19 \text{ m/s（増加）}$$
答え：
音の速さは $361$ m/s（元の速さよりも $19$ m/s 大きくなった）
補足：理想気体と実在気体の違い

理想気体の状態方程式 $PV = nRT$ は高温・低圧で良い近似です。実在気体では分子間力と分子の体積の効果が無視できなくなります。

Point

温度が上がると音速が増加し、波長が長くなる。振動数は音源で決まるため変化しない。$V = f\lambda$ を使って新しい音速を求める。