張力：おもりの重力により弦に張力 $S = mg$ がかかります。
波の速さ：弦を伝わる波の速さの公式に代入します：
$$v = \sqrt{\frac{S}{\rho}} = \sqrt{\frac{mg}{\rho}}$$数値例：$m = 0.40$ kg、$g = 9.8$ m/s²、$\rho = 1.0 \times 10^{-2}$ kg/m のとき：
$$v = \sqrt{\frac{0.40 \times 9.8}{1.0 \times 10^{-2}}} = \sqrt{\frac{3.92}{0.010}} = \sqrt{392} \fallingdotseq 19.8 \text{ m/s}$$弦を伝わる波の速さ $v = \sqrt{\dfrac{S}{\rho}}$。おもりをつるす場合の張力 $S = mg$。
腹が2つの定在波は2倍振動（$m = 2$）です。弦の両端が固定端（節）なので、弦の長さ $L$ の中に半波長が2つ入ります：
$$L = 2 \times \frac{\lambda}{2} = \lambda \quad \therefore \lambda = L$$数値例：$L = 1.0$ m のとき $\lambda = 1.0$ m。
（一般に腹 $m$ 個のとき $L = m \times \dfrac{\lambda}{2}$ すなわち $\lambda = \dfrac{2L}{m}$。）
腹の数 $m$ のとき、$\lambda = \dfrac{2L}{m}$。$m = 2$ なら $\lambda = L$。
$v = f\lambda$ より：
$$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{1}{L}\sqrt{\frac{mg}{\rho}}$$数値例：$m = 0.40$ kg、$g = 9.8$ m/s²、$\rho = 1.0 \times 10^{-2}$ kg/m、$L = 1.0$ m のとき：
$$f = \frac{1}{1.0}\sqrt{\frac{0.40 \times 9.8}{1.0 \times 10^{-2}}} = \sqrt{392} \fallingdotseq 19.8 \text{ Hz}$$$f = \dfrac{v}{\lambda} = \dfrac{m}{2L}\sqrt{\dfrac{S}{\rho}}$。腹の数 $m$ に比例し、弦の長さ $L$ に反比例する。
設定：振動数は同じ $f$。腹の数 $m' = 1$（基本振動）。
腹が1つのとき $\lambda' = 2L$、速さ $v' = f\lambda' = f \times 2L$。
腹が2つのとき $\lambda = L$、速さ $v = f\lambda = f \times L$。
したがって $v' = 2v$。
$$v' = \sqrt{\frac{m'g}{\rho}} = 2v = 2\sqrt{\frac{mg}{\rho}}$$両辺を2乗して：
$$\frac{m'g}{\rho} = 4 \times \frac{mg}{\rho}$$ $$\therefore m' = 4m$$数値例：$m = 0.40$ kg のとき $m' = 4 \times 0.40 = 1.6$ kg。張力は $S' = m'g = 1.6 \times 9.8 = 15.7$ N（元の $S = 3.92$ N の4倍）、波の速さは $v' = \sqrt{15.7/0.010} \fallingdotseq 39.6$ m/s（元の約2倍）です。
一般に腹の数 $n$ のときの振動数は
$$f_n = \frac{n}{2L}\sqrt{\frac{Mg}{\rho}}$$$n = 2$, 質量 $m$ のとき：$f = \dfrac{2}{2L}\sqrt{\dfrac{mg}{\rho}} = \dfrac{1}{L}\sqrt{\dfrac{mg}{\rho}}$
$n = 1$, 質量 $m'$ のとき：$f = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{m'g}{\rho}}$
振動数が等しいので：
$$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mg}{\rho}} = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{m'g}{\rho}}$$ $$2\sqrt{mg} = \sqrt{m'g} \quad \Rightarrow \quad 4mg = m'g \quad \Rightarrow \quad m' = 4m$$振動数一定で腹の数を半分にするには、波の速さを2倍 → 張力を4倍 → おもりの質量を4倍にする。