応用問題315 気柱の振動

設問 ア・イ　波長と音の速さ

直感的理解
閉管の共鳴実験で、水面を下げていくとき隣り合う共鳴点の差が $\dfrac{\lambda}{2}$ です。この関係は開口端補正に関わらず成り立つので、波長を正確に求めることができます。

波長：

音の速さ：

答え：
$$\text{ア: } \lambda = 76.0 \text{ cm}, \quad \text{イ: } V = 342 \text{ m/s}$$
Point

隣り合う共鳴点の差 $= \dfrac{\lambda}{2}$。開口端補正に影響されない確実な方法。

設問 ウ　振動数を上げたとき次に共鳴する振動数

直感的理解
管口から水面までの距離を $55.0$ cm に固定し、振動数を上げていきます。$450$ Hz のとき $l_2 = 55.0$ cm は第2共鳴（$\frac{3\lambda}{4}$）の位置でした。振動数を上げると波長が短くなり、同じ $55.0$ cm の気柱で次の共鳴モード（$\frac{5\lambda'}{4}$）を満たすとき共鳴します。

設定：水面固定 $l = 55.0$ cm、開口端補正 $\Delta l$ は振動数によらず一定と仮定。

$450$ Hz のとき第2共鳴なので：

$$l + \Delta l = \frac{3\lambda}{4} = \frac{3 \times 76.0}{4} = 57.0 \text{ cm}$$ $$\Delta l = 57.0 - 55.0 = 2.0 \text{ cm}$$

次の共鳴は第3共鳴モード：$l + \Delta l = \dfrac{5\lambda'}{4}$

$$57.0 = \frac{5\lambda'}{4} \quad \Rightarrow \quad \lambda' = \frac{4 \times 57.0}{5} = 45.6 \text{ cm}$$ $$f' = \frac{V}{\lambda'} = \frac{342}{0.456} = 750 \text{ Hz}$$
答え：
$$f' = 750 \text{ Hz}$$
補足：開口端補正を無視する場合の近似

開口端補正が音の振動数によらず一定という仮定で計算しました。実際には開口端補正は管の内径に依存し、振動数への依存性は小さいため、この近似は妥当です。

Point

閉管の共鳴条件：$l + \Delta l = \dfrac{(2n-1)\lambda}{4}$（$n = 1, 2, 3, \ldots$）。気柱長を固定して振動数を変えると、次の奇数次のモードで共鳴する。