音の反射と壁までの距離

問題設定：がけの前方に向かって速さ 10 m/s で走っている人が叫んだところ、4.0 秒後にこだまが聞こえた。音速 340 m/s。

(1) 叫んだ瞬間のがけまでの距離（静止している場合）：

人が静止しているとき、音は壁まで距離 \(d\) を往復します。往復にかかる時間が 4.0 s なので：

$$2d = V \times t = 340 \times 4.0 = 1360 \text{ m}$$ $$d = \frac{1360}{2} = 680 \text{ m}$$

(2) 速さ 10 m/s で壁に向かって走る場合：

叫んだ瞬間の位置から壁までの距離を \(d\) とします。音が壁に到達する時間を \(t_1\)、反射音が戻ってくる時間を \(t_2\) とすると：

$$t_1 + t_2 = 4.0 \text{ s} \quad \cdots\text{①}$$

行き（音が壁に届くまで）：音は速さ \(V = 340\) m/s で距離 \(d\) を進みます：

$$V t_1 = d \quad \Rightarrow \quad t_1 = \frac{d}{340} \quad \cdots\text{②}$$

帰り（反射音が人に届くまで）：時刻 \(t_1\) で人は壁から \(d - 10t_1\) の位置にいます。反射音（速さ \(V\)）と人（速さ \(v = 10\) m/s）が近づくので：

$$(V + v)\,t_2 = d - v\,t_1 \quad \Rightarrow \quad 350\,t_2 = d - 10\,t_1 \quad \cdots\text{③}$$

②を③に代入：

$$350\,t_2 = d - 10 \cdot \frac{d}{340} = d\!\left(1 - \frac{10}{340}\right) = d \cdot \frac{330}{340}$$

①より \(t_2 = 4.0 - t_1 = 4.0 - d/340\) を代入：

$$350\!\left(4.0 - \frac{d}{340}\right) = \frac{330}{340}\,d$$ $$1400 - \frac{350d}{340} = \frac{330d}{340}$$ $$1400 = \frac{350d + 330d}{340} = \frac{680d}{340} = 2d$$ $$d = 700 \text{ m}$$

別解：簡略化した解法

音と人が出会う問題として考えます。音は壁まで往復、人は壁に向かって走る。4.0 s 間に：

• 音が進む総距離：$340 \times 4.0 = 1360$ m（往復分）
• 人が進む距離：$10 \times 4.0 = 40$ m

音の往復距離は $2d$（初期距離の往復）ですが、人が近づく分を補正：

$$2d = 340 \times 4.0 + 10 \times 4.0 = 1400 \text{ m}$$

ここで正確には、行きは音と人が同方向に進むため：$2d = (V - v)t_1 \cdot 2$... ではなく、上記の連立方程式が正確です。$d = 700$ m。