音の干渉と強め合い・弱め合いの条件

問題設定：2つのスピーカー $S_1$, $S_2$ から同じ振動数 $f = 1.7 \times 10^2$ Hz の音が同位相で出ている。$S_1S_2$ 間の距離は 4.0 m、音速 $V = 340$ m/s。

波長の計算：

$$\lambda = \frac{V}{f} = \frac{340}{1.7 \times 10^2} = \frac{340}{170} = 2.0 \text{ m}$$

(1) 点A（$S_1$ の正面）での干渉：

点Aは $S_1$ の正面にあるので、$S_1$A $\perp$ $S_1S_2$ です。$S_1$A $= d$ とすると：

$$S_2\text{A} = \sqrt{d^2 + 4.0^2}$$

経路差を計算します：

$$|S_2\text{A} - S_1\text{A}| = \sqrt{d^2 + 16} - d$$

$d$ が十分大きいとき $\sqrt{d^2 + 16} \fallingdotseq d + 8/d$ なので経路差 $\fallingdotseq 8/d$。$\Delta r = m\lambda = 2m$ なら強め合い、$\Delta r = (m+\frac{1}{2})\lambda$ なら弱め合い。具体的な $d$ の値で判定します。

(2) 点B（垂直二等分線上）：

$S_1$B $= S_2$B なので経路差 $= 0$。

$$\Delta r = 0 = 0 \times \lambda \quad \text{（強め合い条件 } m = 0 \text{）}$$

よって点 B は強め合いの点です。

(3) 干渉条件のまとめ：

$$\text{強め合い：} \quad \Delta r = m\lambda = 2.0m \text{ m} \quad (m = 0, 1, 2, \ldots)$$ $$\text{弱め合い：} \quad \Delta r = \left(m + \frac{1}{2}\right)\lambda = (2m+1) \text{ m} \quad (m = 0, 1, 2, \ldots)$$

補足：波の独立性と重ね合わせの原理

2つの波が出会っても互いに影響を及ぼしません（波の独立性）。重なっている部分では変位の和が合成波の変位になります。